Determine a transformada de Laplace inversa da função
ou seja, uma função,
, cuja transformada de Laplace é a função dada,
.
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado.
- Pede-se a transformada de Laplace inversa de
Isto é, encontrar uma função
tal que
.
- Informação importante do enunciado (já contida em
):
Passo 2
Estratégia de resolução (sem ainda calcular): decompor
em frações parciais e inverter termo a termo usando pares básicos de Laplace.
- Ideia geral: se escrevermos
então as transformadas inversas conhecidas são:
Logo
(após encontrar
).
Passo 3
Fatorar o polinômio quadrático do denominador para facilitar a decomposição.
- Calcula-se:
pois
. Assim o denominador é
.
Passo 4
Montar a decomposição em frações parciais e escrever a identidade a ser satisfeita.
- Assumimos
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 5
Determinar
por avaliação nas raízes óbvias
.
- Em
:
Logo
- Em
:
Logo
- Em
:
Logo
Passo 6
Determinar
usando igualdade polinomial (usando um valor conveniente de
e os
já encontrados).
- Usamos
(qualquer outro valor que não anule termos principais também serve). Em temos:
- Calculando cada termo (substituindo os valores de
):
- Isolando
:
- Substituindo
, , :
- Colocando em denominador comum e simplificando (passo a passo):
- Logo
Passo 7
Escrever a decomposição final e aplicar as transformadas inversas de cada termo.
- A decomposição encontrada é
com
- Usando pares básicos de Laplace:
- Portanto a transformada inversa é obtida somando termo a termo:
Passo 8
Escrever a expressão final substituindo os coeficientes encontrados.
- Substituindo
: