Determine a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=\frac{2 s-5}{s^{2}\left(s^{2}+s-12\right)}
ou seja, uma função, f(t), cuja transformada de Laplace é a função dada, F(s).

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pede-se a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{2s-5}{s^{2}\bigl(s^{2}+s-12\bigr)}.
Isto é, encontrar uma função f(t) tal que \mathcal{L}\{f\}(s)=F(s).
  • Informação importante do enunciado (já contida em F(s)):
\text{denominador }=s^{2}\bigl(s^{2}+s-12\bigr).

Passo 2

Estratégia de resolução (sem ainda calcular): decompor F(s) em frações parciais e inverter termo a termo usando pares básicos de Laplace.
  • Ideia geral: se escrevermos
F(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s-3}+\frac{D}{s+4},
então as transformadas inversas conhecidas são:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Logo f(t)=A + B t + C e^{3t} + D e^{-4t} (após encontrar A,B,C,D).

Passo 3

Fatorar o polinômio quadrático do denominador para facilitar a decomposição.
  • Calcula-se:
s^{2}+s-12=(s+4)(s-3),
pois (s+4)(s-3)=s^{2}+s-12. Assim o denominador é s^{2}(s-3)(s+4).

Passo 4

Montar a decomposição em frações parciais e escrever a identidade a ser satisfeita.
  • Assumimos
\frac{2s-5}{s^{2}(s-3)(s+4)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s-3}+\frac{D}{s+4}.
  • Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s-3)(s+4) obtemos a identidade polinomial
2s-5 = A\,s\,(s-3)(s+4) + B\,(s-3)(s+4) + C\,s^{2}(s+4) + D\,s^{2}(s-3).

Passo 5

Determinar B,C,D por avaliação nas raízes óbvias s=0,3,-4.
  • Em s=0:
2\cdot0-5=-5 = B\,(0-3)(0+4)=B\cdot(-3)\cdot4 = -12B.
Logo
B=\frac{5}{12}.
  • Em s=3:
2\cdot3-5=6-5=1 = C\cdot 3^{2}\cdot(3+4)=C\cdot 9\cdot7 = 63C.
Logo
C=\frac{1}{63}.
  • Em s=-4:
2(-4)-5=-8-5=-13 = D\cdot (-4)^{2}\cdot(-4-3)=D\cdot 16\cdot(-7) = -112D.
Logo
D=\frac{13}{112}.

Passo 6

Determinar A usando igualdade polinomial (usando um valor conveniente de s e os B,C,D já encontrados).
  • Usamos s=1 (qualquer outro valor que não anule termos principais também serve). Em s=1 temos:
2\cdot1-5=-3 = A\cdot 1\cdot(1-3)(1+4) + B(1-3)(1+4) + C\cdot 1^{2}(1+4) + D\cdot 1^{2}(1-3).
  • Calculando cada termo (substituindo os valores de B,C,D):
-3 = A\cdot(-2)\cdot5 + B\cdot(-2)\cdot5 + C\cdot 5 + D\cdot(-2).
-3 = -10A -10B +5C -2D.
  • Isolando A:
-10A = -3 +10B -5C +2D,
A = \frac{3 -10B +5C -2D}{10}.
  • Substituindo B=\dfrac{5}{12}, C=\dfrac{1}{63}, D=\dfrac{13}{112}:
3 -10\cdot\frac{5}{12} +5\cdot\frac{1}{63} -2\cdot\frac{13}{112} =3 -\frac{50}{12} +\frac{5}{63} -\frac{26}{112}.
  • Colocando em denominador comum e simplificando (passo a passo):
3-\frac{50}{12} = -\frac{7}{6},\qquad -\frac{7}{6}+\frac{5}{63}=-\frac{137}{126},
-\frac{137}{126}-\frac{26}{112} = -\frac{1330}{1008} = -\frac{665}{504}.
  • Logo
A=\frac{-665}{5040} = -\frac{19}{144}.

Passo 7

Escrever a decomposição final e aplicar as transformadas inversas de cada termo.
  • A decomposição encontrada é
F(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s-3}+\frac{D}{s+4},
com
A=-\frac{19}{144},\quad B=\frac{5}{12},\quad C=\frac{1}{63},\quad D=\frac{13}{112}.
  • Usando pares básicos de Laplace:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t,\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-3}\right\}=e^{3t},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+4}\right\}=e^{-4t}.
  • Portanto a transformada inversa é obtida somando termo a termo:
f(t)=A + B\,t + C\,e^{3t} + D\,e^{-4t}.

Passo 8

Escrever a expressão final substituindo os coeficientes encontrados.
  • Substituindo A,B,C,D:
f(t)=-\frac{19}{144} + \frac{5}{12}\,t + \frac{1}{63}\,e^{3t} + \frac{13}{112}\,e^{-4t}.

Resposta

f(t)=-\frac{19}{144}+\frac{5}{12}\,t+\frac{1}{63}\,e^{3t}+\frac{13}{112}\,e^{-4t}

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