Encontre a solução geral dos sistemas de equações a seguir.
\left{ lx1^prime=x1-2 x2 x2^prime=3 x1-4 x2\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear autônomo de primeira ordem
x1' = x1 - 2x2, x2' = 3x1 - 4x2
O conteúdo aqui é resolver x'=Ax por autovalores e autovetores: primeiro determinamos o polinômio característico de
A = 1 & -2[6pt]3 & -4,
depois obtemos os autovalores lambda, em seguida os autovetores e, por fim, montamos a combinação linear que dá a solução geral.]

Passo 2

Montamos o polinômio característico de A resolvendo det(A-lambda I)=0.
A - lambda I = 1-lambda & -2[4pt]3 & -4-lambda
det(A-lambda I) = (1-lambda)(-4-lambda) - (-2)cdot3
Desenvolvendo:
(1-lambda)(-4-lambda) = lambda^2 + 3lambda -4,
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det(A-lambda I) = lambda^2 + 3lambda -4 + 6 = lambda^2 + 3lambda + 2
Igualando a zero,
lambda^2 + 3lambda + 2 = 0 ]

Passo 3

Resolvendo lambda^2 + 3lambda + 2 = 0 por fatoração ou fórmula de Bhaskara:
lambda^2 + 3lambda + 2 = (lambda+1)(lambda+2)=0
portanto
lambda1 = -1, lambda2 = -2

Passo 4

Para cada autovalor lambda achamos um autovetor não-nulo em (A-lambda I)v=0.
1. Para lambda1=-1:
A -(-1)I = A+I = 2 & -2[4pt]3 & -3,
a equação 2v1-2v2=0 v1=v2. Um autovetor é
v^(1) = 11
2. Para lambda2=-2:
A -(-2)I = A+2I = 3 & -2[4pt]3 & -2,
a equação 3v1-2v2=0 v2=tfrac32,v1. Um autovetor é
v^(2) = 23 ]

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais e^lambda tv. Assim,
x(t) = C1,e^-t11 + C2,e^-2t23,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x1(t) = C1,e^-t + 2,C2,e^-2t, x2(t) = C1,e^-t + 3,C2,e^-2t

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