Encontre a solução geral dos sistemas de equações a seguir.
\left{ lx1^prime=2 x1-5 x2 x2^prime=x1-2 x2\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo de equações diferenciais
x1' = 2x1 - 5x2, x2' = x1 - 2x2,
que podemos escrever na forma vetorial
x' = Ax, A = 2 & -5 1 & -2
O conteúdo é resolução de sistemas 2times2 via autovalores e autovetores; vamos precisar encontrar o polinômio característico de A, seus autovalores, um autovetor complexo e, em seguida, extrair a solução real geral.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det2-lambda & -5 [6pt]1 & -2-lambda =(2-lambda)(-2-lambda)-(-5)cdot1 =lambda^2+1
As raízes são
lambda^2+1=0 Longrightarrow lambda = pm i,
ou seja, autovalores puramente imaginários. Isso indica solução oscilatória sem crescimento exponencial.]

Passo 3

Escolhemos e resolvemos :
Da primeira linha,
Um autovetor é
]

Passo 4

Para obter a solução real, usamos
x(t) =C1Rel(e^i tvr) +C2Iml(e^i tvr)
Como e^i tv = (cos t + isin t)(vRe+i,vIm), calculamos
Rel(e^i tvr) = vRecos t - vImsin t =2cos t -sin t[4pt]cos t,
Iml(e^i tvr) = vResin t + vImcos t =2sin t +cos t[4pt]sin t
Logo a solução geral real é
x(t) = C12cos t -sin t[3pt]cos t + C22sin t +cos t[3pt]sin t,
com C1,C2inR.]

Resposta

x1(t) = C1l(2cos t - sin tr) + C2l(2sin t + cos tr), x2(t) = C1cos t + C2sin t

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