Encontre a solução geral dos sistemas de equações a seguir.
\left{ lx1^prime=x1+x2 x2^prime=4 x1-2 x2\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear autônomo
x1' = x1 + x2,
x2' = 4,x1 - 2,x2
O conteúdo aqui é usar autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & 1 [6pt] 4 & -2
para escrever a solução como combinação linear de modos exponenciais.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A resolvendo
detl(A - lambda Ir)=0
Temos
det1-lambda & 1 [4pt] 4 & -2-lambda =(1-lambda)(-2-lambda)-4
=(1-lambda)(-2-lambda)-4 =lambda^2+lambda-2-4 =lambda^2+lambda-6
Logo o polinômio característico é
lambda^2+lambda-6=0,
cuja solução dá os autovalores
lambda1=2, lambda2=-3
]

Passo 3

Para cada lambda encontramos um autovetor v não-nulo tal que (A-lambda I)v=0.
Caso lambda1=2
A-2I =1-2 & 1 [4pt] 4 & -2-2 =-1 & 1 [4pt] 4 & -4
A primeira linha dá -v1+v2=0, ou seja v2=v1. Tomando v1=1, obtemos o autovetor
v^(1)=11
Caso lambda2=-3
A+3I =1+3 & 1 [4pt] 4 & -2+3 =4 & 1 [4pt] 4 & 1
A linha única independente dá 4,v1+v2=0, ou v2=-4,v1. Tomando v1=1, temos
v^(2)=1-4
]

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos
x(t)=C1e^lambda1t,v^(1)+C2e^lambda2t,v^(2),
ou seja
x(t) =C1e^2t11 +C2e^-3t1-4

Resposta

x1(t)=C1e^2t+C2e^-3t, x2(t)=C1e^2t-4,C2e^-3t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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