Encontre a solução geral dos sistemas de equações a seguir.
\left{ lx1^prime=3 x1-2 x2 x2^prime=4 x1-x2\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes:
x1'=3x1-2x2, x2'=4x1-x2
O conteúdo aqui é sistema de ODEs lineares e vamos usar o método de autovalores e autovetores para resolver x'=Ax.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial x'=Ax com
A = 3 & -2[6pt]4 & -1
Para encontrar os autovalores lambda, montamos o polinômio característico
detl(A-lambda Ir) =det!3-lambda & -2[3pt]4 & -1-lambda =(3-lambda)(-1-lambda)-(-2)cdot4
Expandindo,
(3-lambda)(-1-lambda)+8 =lambda^2-2lambda-3+8 =lambda^2-2lambda+5 ]

Passo 3

Igualamos o polinômio a zero e resolvemos:
lambda^2-2lambda+5=0 Longrightarrow lambda = 2pmraiz4-202 =1pm 2,i
Portanto há um par de autovalores complexos conjugados lambda1,2=1pm2i.

Passo 4

Escolhemos lambda=1+2i e resolvemos (A-lambda I)v=0:
3-(1+2i)&-2[3pt]4&-1-(1+2i) v1[3pt]v2 = 2-2i&-2[3pt]4&-2-2i v1[3pt]v2 =0
Da primeira linha (2-2i)v1-2v2=0 vem
v1=22-2i,v2 =1+i1-i,v2 =1+i(tomando v2=2)
Então podemos usar como autovetor
v=(1+i,,2)^T ]

Passo 5

A solução complexa associada é
x^(c)(t)=v,e^lambda t =(1+i,2),e^(1+2i)t =e^t(1+i,2)l(cos2t+isin2tr)
Separando parte real e parte imaginária obtemos duas soluções reais fundamentais:
xR(t)=e^tcos2t-sin2t[3pt]2cos2t, xI(t)=e^tsin2t+cos2t[3pt]2sin2t
Como o sistema é homogêneo, a combinação linear dessas duas soluções dá a solução geral real.
]

Resposta

A solução geral é
x(t)=C1,e^t cos2t-sin2t[4pt] 2cos2t ;+; C2,e^t sin2t+cos2t[4pt] 2sin2t ,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.]

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