Encontre a solução geral dos sistemas de equações a seguir.
\left{
\right.
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Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes:
O conteúdo aqui é sistema de ODEs lineares e vamos usar o método de autovalores e autovetores para resolver
.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial
com
Para encontrar os autovalores
, montamos o polinômio característico
Expandindo,
Passo 3
Igualamos o polinômio a zero e resolvemos:
Portanto há um par de autovalores complexos conjugados
.
Passo 4
Escolhemos
e resolvemos
:
Da primeira linha
vem
Então podemos usar como autovetor
Passo 5
A solução complexa associada é
Separando parte real e parte imaginária obtemos duas soluções reais fundamentais:
Como o sistema é homogêneo, a combinação linear dessas duas soluções dá a solução geral real.
]
]
Resposta
A solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias.]