(2,0) Seja f uma função definida por
f(x)=l a x-x^2, se 0 <= x <= 2 a-b x, se 2<x <= 3 x-b, se x>3
Determine os valores de a e de b que tornam f contínua.

Passo 1

O enunciado define uma função por partes em três “ramificações” e pede os valores de a e b que garantem a continuidade de f em todos os pontos. O que vamos usar é a definição de continuidade em ponto de fronteira de um ramo: o valor de f naquele ponto deve coincidir com o limite vindo da esquerda e da direita.

Passo 2

Para x=2 a função muda do ramo f(x)=a x - x^2 para f(x)=a - b x. Primeiro calculo o valor em 2 pelo ramo da esquerda:
f(2^-) = 2a - 2^2 = 2a - 4
O limite pela direita, usando o segundo ramo, é
f(2^+) = a - bcdot 2 = a - 2b
Igualando para continuidade em x=2:
2a - 4 = a - 2b Longrightarrow a - 4 = -2b Longrightarrow a + 2b = 4

Passo 3

Para x=3 a função muda do ramo f(x)=a - b x para f(x)=x - b. O valor em 3 pelo ramo da esquerda é
f(3^-) = a - 3b,
e o limite pela direita é
f(3^+) = 3 - b
Igualando para continuidade em x=3:
a - 3b = 3 - b Longrightarrow a - 2b = 3

Passo 4

Agora resolvo o sistema
a + 2b = 4, a - 2b = 3
Somando as duas equações:
2a = 7 Longrightarrow a = tfrac72
Substituo em a + 2b = 4:
tfrac72 + 2b = 4 Longrightarrow 2b = 4 - tfrac72 = tfrac12 Longrightarrow b = tfrac14

Resposta

a = tfrac72 e b = tfrac14.

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