Encontre a solução geral dos sistemas de equações a seguir.
\left{ lx1^prime=x1+2 x2 x2^prime=-5 x1-x2\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
x1' = x1 + 2x2, x2' = -5x1 - x2,
querendo a solução geral (x1(t),x2(t)). O conteúdo é sistemas lineares homogêneos com coeficientes constantes, e vamos usar o método de autovalores e autovetores.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial x' = Ax com
A = 1 & 2 -5 & -1
e procuramos os autovalores lambda resolvendo o polinômio característico det(A-lambda I)=0.

Passo 3

Calculamos
detl(A-lambda Ir) =det 1-lambda & 2 -5 & -1-lambda =(1-lambda)(-1-lambda)-2cdot(-5) =lambda^2+9
Assim
lambda^2+9=0 Longrightarrow lambda=pm3i

Passo 4

Tomamos lambda=3i e resolvemos (A-3iI)v=0. Da primeira linha
(1-3i)v1+2v2=0 Longrightarrow v2=-1-3i2,v1
Escolhendo v1=1, um autovetor é
v=1[6pt]tfrac-1+3i2 =a+ib,
onde
a=1-1/2, b=03/2 ]

Passo 5

Como lambda=pm3i são conjugados, as soluções reais fundamentais são
phi1(t)=acos(3t)-bsin(3t), phi2(t)=asin(3t)+bcos(3t)
Isto é,
phi1(t) = cos(3t)[3pt] -tfrac12cos(3t);-;tfrac32sin(3t) , phi2(t) = sin(3t)[3pt] -tfrac12sin(3t);+;tfrac32cos(3t)
Logo a solução geral é combinação linear dessas duas:]

Resposta

once e são constantes arbitrárias.]

Exercícios relacionados