Encontre a solução geral dos sistemas lineares cujas matrizes aumentadas são as seguintes:
\left[\begin{array}{ccccc}1 & 5 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada
\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 5 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
e pede a solução geral do sistema linear correspondente. Vou assumir a convenção usual: as quatro primeiras colunas são os coeficientes das incógnitas x_1,x_2,x_3,x_4 e a quinta coluna é o termo independente (RHS).
Informações relevantes extraídas da matriz:
  • Número de incógnitas: quatro, x_1,x_2,x_3,x_4.
  • Cada linha da matriz corresponde a uma equação linear.
  • A última coluna contém os termos constantes: 3,-2,6,1.

Passo 2

Escrevendo explicitamente as equações que a matriz aumentada representa:
Primeira linha:
x_1 + 5x_2 + 0x_3 + 0x_4 = 3.
Segunda linha:
0x_1 + 0x_2 + x_3 + 0x_4 = -2,
ou seja
x_3 = -2.
Terceira linha:
0x_1 + 0x_2 + 0x_3 + x_4 = 6,
ou seja
x_4 = 6.
Quarta linha:
0x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 0x_4 = 1,
ou seja
0 = 1.

Passo 3

Analisando a quarta equação \,0=1: isso é uma contradição lógica — não existe nenhum valor para as incógnitas que torne verdadeira a igualdade 0=1. Em termos de sistemas lineares, uma linha da forma
0x_1+0x_2+0x_3+0x_4 = b
com b\neq 0 indica imediatamente que o sistema é inconsistente (impossível).

Passo 4

Explicação didática do porquê isso impede solução (um pequeno “mini-aula” prática):
  • A solução de um sistema linear é um vetor (x_1,x_2,x_3,x_4) que satisfaz todas as equações simultaneamente.
  • Se uma equação é 0=1, não existe vetor que a satisfaça, logo não existe vetor que satisfaça o sistema inteiro.
  • Em linguagem de álgebra linear mais formal: o posto (rank) da matriz de coeficientes é menor que o posto da matriz aumentada (a coluna de termos independentes não está no espaço gerado pelas colunas de coeficientes), e isso é a condição clássica de inconsistência pelo teorema de Rouché–Capelli. Aqui observa-se diretamente a linha contraditória, então nem precisamos calcular postos para concluir.

Passo 5

Conclusão do raciocínio: por causa da equação impossível \,0=1 presente entre as equações equivalentes da matriz aumentada, não existe nenhum vetor (x_1,x_2,x_3,x_4) que satisfaça o sistema. Portanto o conjunto solução é vazio.

Resposta

Não existe solução (o sistema é inconsistente).

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