Encontre uma solução geral dos sistemas a seguir.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um sistema homogêneo de duas EDOs lineares de primeira ordem dado por
O conteúdo é sistemas lineares de EDOs homogêneas e vamos precisar calcular autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.
Passo 2
Formação da matriz de coeficientes: escrevemos o sistema na forma
com
Para resolver, usamos o método de diagonalização: encontramos o polinômio característico de
.
Passo 3
Cálculo do polinômio característico: aplicamos
Como
, obtemos
Passo 4
Resolução do polinômio: temos
Logo os autovalores são
Passo 5
Cálculo dos autovetores: para
resolvemos
que dá
ou
. Escolhendo
temos
.
Para procede-se igual e obtém-se
.
Para
Passo 6
Montagem da solução geral: como temos duas soluções independentes, a solução geral é combinação linear dos modos: