Encontre uma solução geral dos sistemas a seguir.
ly1^prime=9 y1+13,5 y2 y2^prime=1,5 y1+9 y2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um sistema homogêneo de duas EDOs lineares de primeira ordem dado por
y1'=9y1+13,5y2, y2'=1,5y1+9y2
O conteúdo é sistemas lineares de EDOs homogêneas e vamos precisar calcular autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.

Passo 2

Formação da matriz de coeficientes: escrevemos o sistema na forma y'=Ay com
A=9 & 13,51,5 & 9
Para resolver, usamos o método de diagonalização: encontramos o polinômio característico de A.

Passo 3

Cálculo do polinômio característico: aplicamos
det(A-lambda I)=det9-lambda & 13,51,5 & 9-lambda=(9-lambda)^2-(13,5cdot1,5)
Como 13,5times1,5=20,25, obtemos
(9-lambda)^2-20,25=0

Passo 4

Resolução do polinômio: temos
(9-lambda)^2=20,25implies9-lambda=pm4,5
Logo os autovalores são
lambda1=9-(-4,5)=13,5, lambda2=9-4,5=4,5

Passo 5

Cálculo dos autovetores: para lambda1=13,5 resolvemos
(A-13,5I)v=-4,5 &13,51,5 &-4,5v1v2=0
que dá -4,5v1+13,5v2=0 ou v1=3v2. Escolhendo v2=1 temos v^(1)=(3,1)^T.
Para lambda2=4,5 procede-se igual e obtém-se v^(2)=(-3,1)^T.

Passo 6

Montagem da solução geral: como temos duas soluções independentes, a solução geral é combinação linear dos modos:
y(t)=C131e^13,5t+C2-31e^4,5t

Resposta

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