Encontre a solução geral e a solução do problema de valor inicial quando dado:
4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a ODE linear homogênea de coeficientes constantes
4y''-4y'-3y=0
ou seja, encontrar a solução geral e, em seguida, a solução do problema de valor inicial supondo as condições
y(0)=y_0,\quad y'(0)=v_0.
O método envolve montar a equação característica, achar as raízes, escrever a solução geral e depois determinar as constantes a partir das condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando y(t) por e^{rt}:
4r^2 - 4r - 3 = 0.
Resolvendo-a, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot4\cdot(-3)}}{2\cdot4} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{8} = \frac{4 \pm 8}{8}.
Daí obtemos as duas raízes reais
r_1 = \frac{4 + 8}{8} = \frac{3}{2}, \quad r_2 = \frac{4 - 8}{8} = -\frac{1}{2}.

Passo 3

Como as raízes r_1 e r_2 são distintas e reais, a solução geral é
y(t) = C_1 e^{\tfrac{3}{2}t} + C_2 e^{-\tfrac{1}{2}t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelo problema de valor inicial.

Passo 4

Calculamos y(0) e y'(0). De y(t) segue
y(0) = C_1 + C_2 = y_0
e, derivando,
y'(t) = \frac{3}{2}C_1 e^{\tfrac{3}{2}t} - \frac{1}{2}C_2 e^{-\tfrac{1}{2}t},
logo em t=0
y'(0) = \frac{3}{2}C_1 - \frac{1}{2}C_2 = v_0.

Passo 5

Temos o sistema para C_1,C_2\): \[\begin{cases} C_1 + C_2 = y_0,\\[6pt] \frac{3}{2}C_1 - \frac{1}{2}C_2 = v_0. \end{cases}
Multiplicando a segunda equação por (2]:
\begin{cases} C_1 + C_2 = y_0,\\\\ 3C_1 - C_2 = 2v_0. \end{cases}
Somando-as,
4C_1 = y_0 + 2v_0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = \frac{y_0 + 2v_0}{4}.
E então
C_2 = y_0 - C_1 = y_0 - \frac{y_0 + 2v_0}{4} = \frac{4y_0 - (y_0 + 2v_0)}{4} = \frac{3y_0 - 2v_0}{4}.]

Resposta

Solução geral:
y(t) = C_1 e^{\tfrac{3}{2}t} + C_2 e^{-\tfrac{1}{2}t}.
Solução do problema de valor inicial y(0)=y_0, y'(0)=v_0:
y(t) = \frac{y_0 + 2v_0}{4}\,e^{\tfrac{3}{2}t} + \frac{3y_0 - 2v_0}{4}\,e^{-\tfrac{1}{2}t}.

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