Encontre a solução geral e a solução do problema de valor inicial quando dado:
4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4\,y''-4\,y'-3\,y=0,
obtendo a solução geral e, em seguida, determinar a solução do problema de valor inicial. Para isso precisamos (1) montar a equação característica associada e (2) usar as condições iniciais para fixar constantes da solução geral.

Passo 2

Escrevemos a equação característica trocando y\mapsto e^{r t}:
4\,r^2-4\,r-3=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática para encontrar as raízes r.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara em
4\,r^2-4\,r-3=0
temos
r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot4\cdot(-3)}}{2\cdot4} = \frac{4 \pm \sqrt{16+48}}{8} = \frac{4 \pm 8}{8}.
Isso dá as raízes
r_1 = \frac{4+8}{8} = \frac{3}{2}, \qquad r_2 = \frac{4-8}{8} = -\frac{1}{2}.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(t) = C_1\,e^{\tfrac32\,t} + C_2\,e^{-\tfrac12\,t}.

Passo 4

Para obter a solução do problema de valor inicial precisaríamos de condições como y(0)=y_0 e y'(0)=y_1. Como essas condições não foram fornecidas no enunciado, não é possível determinar unicamente os valores de C_1 e C_2.

Resposta

A solução geral é
y(t) = C_1\,e^{\tfrac32\,t} + C_2\,e^{-\tfrac12\,t}.
Não é possível obter a solução específica do problema de valor inicial, pois não foram dadas condições iniciais.

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