Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
f(x)=\sqrt{|x+2|-|x|}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\sqrt{\lvert x+2\rvert - \lvert x\rvert}.
Estamos em Conteúdo de análise de domínio de funções reais envolvendo radical. Vamos determinar para quais x o que está dentro da raiz é não-negativo.

Passo 2

Para que f(x) exista, é necessário ter
\lvert x+2\rvert - \lvert x\rvert \ge 0.

Passo 3

A desigualdade
\lvert x+2\rvert \ge \lvert x\rvert
envolve módulos, ambos não-negativos, então podemos elevar ao quadrado sem mudar a desigualdade:
(x+2)^2 \ge x^2
x^2 + 4x + 4 \ge x^2
4x + 4 \ge 0
x \ge -1.

Passo 4

Concluímos que a condição para o radicando ser não-negativo é x\ge -1. Não há outras restrições (não há divisão por zero nem logaritmos, apenas a raiz).

Resposta

O domínio de f é \displaystyle [-1,\infty).

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