Encontre a solução geral de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver usando o método de equações lineares. Para isso, precisamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação linear e identificar as funções que a compõem.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão:
Para isso, dividimos os dois lados da equação original por
:
Rearranjando, temos:
Simplificando os termos:
Agora, identificamos que:
- $ P(x) = \frac{1}{x \ln x} $
- $ Q(x) = \frac{1}{x^{2} \ln x} $
Passo 3
Com a equação na forma padrão, vamos calcular o fator integrante $ \mu(x) $, que é essencial para resolver a equação linear. O fator integrante é dado por:
Substituindo $ P(x) $:
Passo 4
Para resolver a integral $ \int \frac{1}{x \ln x} dx $, fazemos a substituição $ u = \ln x $, então $ du = \frac{1}{x} dx $. A integral fica:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = \ln x $:
Simplificando:
Passo 6
A equação resultante pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para $ y $:
Podemos reescrever isso de maneira mais organizada:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde $ C $ é uma constante arbitrária.