Encontre a solução geral de
(x^2 ln x) y^prime=1-x y, x>1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
(x^2 ln x) y^prime=1-x y, x>1
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver usando o método de equações lineares. Para isso, precisamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação linear e identificar as funções que a compõem.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão:
y^prime + P(x) y = Q(x)
Para isso, dividimos os dois lados da equação original por x^2 ln x:
y^prime = 1 - x yx^2 ln x
Rearranjando, temos:
y^prime + xx^2 ln x y = 1x^2 ln x
Simplificando os termos:
y^prime + 1x ln x y = 1x^2 ln x
Agora, identificamos que:
  • $ P(x) = \frac{1}{x \ln x} $
  • $ Q(x) = \frac{1}{x^{2} \ln x} $

Passo 3

Com a equação na forma padrão, vamos calcular o fator integrante $ \mu(x) $, que é essencial para resolver a equação linear. O fator integrante é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 4

Para resolver a integral $ \int \frac{1}{x \ln x} dx $, fazemos a substituição $ u = \ln x $, então $ du = \frac{1}{x} dx $. A integral fica:
integral 1x ln x dx
Portanto, o fator integrante é:
u = ln x

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = \ln x $:
mu(x) = ln x
Simplificando:
ln x cdot y^prime + ln xx ln x y = ln x cdot 1x^2 ln x

Passo 6

A equação resultante pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
mu(x) y
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
ddx (ln x cdot y) = 1x^2
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para $ y $:
y
Podemos reescrever isso de maneira mais organizada:
y = -1x ln x + Cln x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y = Cln x - 1x ln x
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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