Encontre a solução geral
x y^prime=y(1+ln x-ln y), x>0
Lembrar: ln a+ln b=ln (a b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial da forma:
x dydx = y(1 + ln x - ln y), x > 0
Esse tipo de equação está relacionada ao conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, mais especificamente das que são Lineares ou Separáveis. Para resolver, vamos precisar manipular a equação e aplicar algumas propriedades dos logaritmos, como a que você lembrou: ln a + ln b = ln(ab).

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação mais simples para trabalhar. Vamos dividir os dois lados por x para isolar dydx:
dydx = y(1 + ln x - ln y)x
Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por y para facilitar a separação das variáveis:
1y dydx = 1 + ln x - ln yx

Passo 3

Perceba que essa equação está na forma de uma Equação Diferencial Linear. Para resolver, vamos fazer uma substituição inteligente. Vamos definir:
u = ln y
Assim, a derivada de u em relação a x fica:
dudx = 1y dydx
Substituindo na equação que já temos:
dudx = 1 + ln x - ux

Passo 4

Agora, nossa equação ficou:
dudx + 1xu = 1 + ln xx
Essa é uma Equação Diferencial Linear padrão, onde podemos identificar:
  • P(x) = 1x
  • Q(x) = 1 + ln xx
Para resolver, precisamos calcular o Fator Integrante ( mu(x)), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 1x dx = e^ln x = x

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante mu(x) = x:
x dudx + u = 1 + ln x
Observa que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto u cdot x:
ddx(u cdot x) = 1 + ln x

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a x:
integral ddx(u cdot x) dx = integral (1 + ln x) dx
Do lado esquerdo, a integral da derivada nos dá simplesmente u cdot x. Do lado direito:
integral 1 dx + integral ln x dx = x + x ln x - x + C = x ln x + C
Então, temos:
u cdot x = x ln x + C

Passo 7

Agora, vamos isolar u dividindo ambos os lados por x:
u = ln x + Cx
Lembrando que u = ln y, substituímos de volta:
ln y = ln x + Cx

Passo 8

Para encontrar y, vamos exponenciar ambos os lados da equação:
y = e^ln x + Cx = e^ln x cdot e^Cx = x cdot e^Cx
Como C é uma constante arbitrária, podemos reescrever e^Cx como uma nova constante K (já que e^C também é uma constante). Assim, a solução geral fica:
y = K x e^1x

Resposta

A solução geral da equação é:
y = C cdot x cdot e^,1x
Onde C é uma constante arbitrária.

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