Encontre a solução geral
Lembrar:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial da forma:
Esse tipo de equação está relacionada ao conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, mais especificamente das que são Lineares ou Separáveis. Para resolver, vamos precisar manipular a equação e aplicar algumas propriedades dos logaritmos, como a que você lembrou:
.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação mais simples para trabalhar. Vamos dividir os dois lados por
para isolar
:
Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por
para facilitar a separação das variáveis:
Passo 3
Perceba que essa equação está na forma de uma Equação Diferencial Linear. Para resolver, vamos fazer uma substituição inteligente. Vamos definir:
Assim, a derivada de
em relação a
fica:
Substituindo na equação que já temos:
Passo 4
Agora, nossa equação ficou:
Essa é uma Equação Diferencial Linear padrão, onde podemos identificar:
Para resolver, precisamos calcular o Fator Integrante (
), que é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Observa que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada nos dá simplesmente
. Do lado direito:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos isolar
dividindo ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 8
Para encontrar
, vamos exponenciar ambos os lados da equação:
Como
é uma constante arbitrária, podemos reescrever
como uma nova constante
(já que
também é uma constante). Assim, a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.