Encontre a solução geral para (x^2-1) y^prime prime+4 x y^prime+2 y=0, em torno do ponto ordinário x0=0. Qual é o raio de convergência da série? [Resp: y(x)=(a0+a1 x) sumn=0^infty x^2 n=a0+a1 x1-x^2 ]

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial\r
l(x^2-1r)y''+4x,y'+2y=0 \r
em torno do ponto ordinário x0=0. Como x^2-1neq0 em x=0, podemos buscar uma solução por série de potências da forma y(x)=sumn=0^inftyanx^n. O raio de convergência será até o ponto singular mais próximo, que ocorre em x=pm1, portanto R=1.

Passo 2

Escrevemos as derivadas em série:\r
y(x)=sumn=0^inftyanx^n, y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2

Passo 3

Substituindo na EDO:\r
(x^2-1)sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 +4xsumn=1^inftyn,anx^n-1 +2sumn=0^inftyanx^n=0 \r
Reescrevemos cada termo com a mesma potência x^m:\r
x^2sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 =sumn=2^inftyn(n-1)anx^n,
-sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 =-summ=0^infty(m+2)(m+1)am+2x^m,
4xsumn=1^inftyn,anx^n-1 =4sumn=1^inftyn,anx^n,
2sumn=0^inftyanx^n

Passo 4

Juntando os termos em x^m para m>=0 obtemos\r
summ=0^inftyl[(m+1)(m+2)am+2(-1) +l(m(m-1)+4m+2r)amr]x^m=0 \r
Note que
m(m-1)+4m+2=m^2+3m+2=(m+1)(m+2) \r
Logo o coeficiente de x^m impõe\r
-(m+1)(m+2)am+2+(m+1)(m+2)am=0 Longrightarrow am+2=am

Passo 5

A recorrência am+2=am dá duas constantes livres a0 e a1 e\r
a2n=a0, a2n+1=a1 (n>=0) \r
Portanto a solução em série é\r
y(x)=sumn=0^inftya2nx^2n+sumn=0^inftya2n+1x^2n+1 =a0sumn=0^inftyx^2n+a1sumn=0^inftyx^2n+1

Passo 6

Reconhecendo séries geométricas:\r
sumn=0^inftyx^2n=11-x^2, sumn=0^inftyx^2n+1=x1-x^2, \r
valemos-nos delas para obter a forma fechada\r
y(x)=a0+a1x1-x^2, \r
e confirmamos que o raio de convergência é a distância até o singular x=pm1, isto é, R=1.

Resposta

y(x)=a0+a1x1-x^2, com raio de convergência R=1 ê

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