Encontre a solução geral para
, em torno do ponto ordinário
. Qual é o raio de convergência da série? [Resp:
]
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial\r
em torno do ponto ordinário
. Como
em
, podemos buscar uma solução por série de potências da forma
. O raio de convergência será até o ponto singular mais próximo, que ocorre em
, portanto
.
Passo 2
Escrevemos as derivadas em série:\r
Passo 3
Substituindo na EDO:\r
Reescrevemos cada termo com a mesma potência
:\r
Passo 4
Juntando os termos em
para
obtemos\r
Note que
Logo o coeficiente de
impõe\r
Passo 5
A recorrência
dá duas constantes livres
e
e\r
Portanto a solução em série é\r
Passo 6
Reconhecendo séries geométricas:\r
valemos-nos delas para obter a forma fechada\r
e confirmamos que o raio de convergência é a distância até o singular
, isto é,
.