Exercício 4 Por cada um dos seguintes campos vetoriais F, determine se F é conservativo. Se sim, calcule um potencial de F.
F(x, y, z)=(e^y+2 z, x e^y+2 z+z, 2 x e^y+2 z+y+z^2) em R^3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo
F(x,y,z) = l(e^y+2z,,x e^y+2z+z,,2x e^y+2z+y+z^2r)
é conservativo em R^3 (que é simplesmente conexo) e, em caso positivo, encontrar uma função potencial phi(x,y,z) tal que nablaphi=F. Para isso vamos usar o critério de curl nulo e depois integrar as componentes.

Passo 2

Denote P=e^y+2z, Q=x e^y+2z+z, R=2x e^y+2z+y+z^2. O campo é conservativo se e somente se
partial Ppartial y=partial Qpartial x, partial Ppartial z=partial Rpartial x, partial Qpartial z=partial Rpartial y
Calculemos:
partial Ppartial y =partialpartial ye^y+2z =e^y+2z, partial Qpartial x =partialpartial x(x e^y+2z+z) =e^y+2z
partial Ppartial z =2e^y+2z, partial Rpartial x =partialpartial x(2x e^y+2z+y+z^2) =2e^y+2z
partial Qpartial z =partialpartial z(x e^y+2z+z) =2x e^y+2z+1, partial Rpartial y =partialpartial y(2x e^y+2z+y+z^2) =2x e^y+2z+1
Como todas as três igualdades se confirmam, nablatimesF=0 e o campo é conservativo.

Passo 3

Para achar phi, integramos P em relação a x:
phi(x,y,z) =integral P,dx =integral e^y+2z,dx = x,e^y+2z + h(y,z),
onde h(y,z) é uma função de integração que depende só de y,z.

Passo 4

Impondo partialphi/partial y = Q temos
partialphipartial y =x e^y+2z + partial hpartial y stackrel!= x e^y+2z+z ;Longrightarrow; partial hpartial y=z
Integrando em y,
h(y,z)=y,z + g(z),
com g(z) a “constante” de integração em y.

Passo 5

Impondo partialphi/partial z = R em
phi(x,y,z)=x e^y+2z + y,z + g(z)
partialphipartial z =2x e^y+2z + y + g'(z) stackrel!=2x e^y+2z+y+z^2 ;Longrightarrow; g'(z)=z^2
Logo
g(z)=z^33+C

Resposta

O campo F é conservativo em R^3 e um potencial é
boxed phi(x,y,z) = x,e^y+2z ;+; y,z ;+;z^33 ;+; C,
onde C é constante arbitrária.

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