Exercício 4 Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo
é conservativo em (que é simplesmente conexo) e, em caso positivo, encontrar uma função potencial
tal que
. Para isso vamos usar o critério de curl nulo e depois integrar as componentes.
é conservativo em
Passo 2
Denote
,
,
. O campo é conservativo se e somente se
Calculemos:
Como todas as três igualdades se confirmam,
e o campo é conservativo.
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função de integração que depende só de
.
Passo 4
Impondo
temos
Integrando em
,
com
a “constante” de integração em
.
Passo 5
Impondo
em
dá
Logo
Resposta
O campo
é conservativo em
e um potencial é
onde
é constante arbitrária.