Verifique se as séries convergem ou divergem :
sumn=1^infty(nln (n))^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=2^inftyl(nln(n)r)^n
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas e, em particular, vamos usar o teste da raiz de Cauchy.

Passo 2

O teste da raiz de Cauchy diz que, para un, definimos
L = limsupntoinftyraiz[n]|un|
Se L<1 a série converge, se L>1 ela diverge e se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui un=l(n/ln(n)r)^n.

Passo 3

Calculamos a raiz enésima do termo geral:
raiz[n]l|unr| =raiz[n]l(nln(n)r)^n =nln(n)

Passo 4

Analisamos o limite
limntoinftynln(n)
Como o numerador cresce linearmente e o denominador cresce apenas logaritmicamente, esse quociente tende a +infty.

Passo 5

Como
L = limntoinftyraiz[n]|un| = infty > 1,
o teste da raiz garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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