Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
x y^prime+2 y=3

Passo 1

O enunciado dá a equação linear de primeira ordem x y' + 2y = 3. O conteúdo é “equação diferencial linear de 1ª ordem”, e para resolver vamos precisar colocar no formato padrão y' + P(x)y = Q(x) e usar o fator integrante.

Passo 2

Divido todos os termos por x (supondo xneq0) para obter o formato padrão:
y' + 2xy = 3x

Passo 3

Calculo o fator integrante mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral (2/x),dx = e^2ln|x| = x^2

Passo 4

Multiplico a equação padrão por mu(x)=x^2:
x^2 y' + 2x y = 3x
Repare que o lado esquerdo é a derivada de x^2y, ou seja,
ddx(x^2y) = 3x

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a x:
x^2y = integral 3x,dx = tfrac32x^2 + C,
e isolo y:
y = 32 + Cx^2

Resposta

A solução geral é y(x)=tfrac32+C,x^-2.

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