Encontre a solução geral de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem:
Aqui, a gente está lidando com uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método do polinômio característico, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução tem a forma de uma função exponencial. Ou seja, vamos supor:
onde $ r $ é um número que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ y $ quatro vezes para substituir na equação original:
Substituindo na equação $ y^{(4)} + y = 0 $:
Passo 4
Fatorando $ e^{r x} $ (que nunca é zero), temos:
Essa é a equação característica. Precisamos resolver para $ r $:
Passo 5
Para resolver $ r^4 = -1 $, lembramos que $ -1 $ pode ser escrito como $ e^{i\pi} $. As soluções para $ r $ são as raízes quarta de $ -1 $, ou seja:
Convertendo para forma retangular (com partes reais e imaginárias):
Passo 6
Como temos raízes complexas conjugadas, a solução geral envolve funções trigonométricas. Usamos a fórmula:
onde $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ b = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Resposta
A solução geral da equação é
onde $ C_1, C_2, C_3 $ e $ C_4 $ são constantes arbitrárias.