Encontre a solução geral de
y^(4)+y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem:
y^(4) + y = 0
Aqui, a gente está lidando com uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método do polinômio característico, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução tem a forma de uma função exponencial. Ou seja, vamos supor:
y = e^r x,
onde $ r $ é um número que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ y $ quatro vezes para substituir na equação original:
y
Substituindo na equação $ y^{(4)} + y = 0 $:
y' = r e^r x, y'' = r^2 e^r x, y''' = r^3 e^r x, y^(4) = r^4 e^r x

Passo 4

Fatorando $ e^{r x} $ (que nunca é zero), temos:
e^r x
Essa é a equação característica. Precisamos resolver para $ r $:
r^4 + 1 = 0

Passo 5

Para resolver $ r^4 = -1 $, lembramos que $ -1 $ pode ser escrito como $ e^{i\pi} $. As soluções para $ r $ são as raízes quarta de $ -1 $, ou seja:
r^4 = -1
Convertendo para forma retangular (com partes reais e imaginárias):
-1

Passo 6

Como temos raízes complexas conjugadas, a solução geral envolve funções trigonométricas. Usamos a fórmula:
y(x) = e^a x(C1 cos(b x) + C2 sin(b x)) + e^-a x(C3 cos(b x) + C4 sin(b x)),
onde $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ b = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = e^raiz22 x(C1 cos(raiz22 x) + C2 sin(raiz22 x)) + e^-raiz22 x(C3 cos(raiz22 x) + C4 sin(raiz22 x)),
onde $ C_1, C_2, C_3 $ e $ C_4 $ são constantes arbitrárias.

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