Nos Exercicios de 1 a 26, ache a derivada da função dada.
f(x)=4 sen^-1 12 x+x raiz4-x^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=4,sin^-1l(tfracx2r)+xraiz4-x^2. Vamos usar derivada de função inversa (arcsin), regra da cadeia e regra do produto.

Passo 2

Para derivar 4,sin^-1(tfracx2), lembramos que a derivada de sin^-1(u) é dfracu'raiz1-u^2. Aqui u(x)=tfracx2 tem u'=tfrac12. Assim:
ddxl[4,sin^-1(tfracx2)r] =4cdottfrac12raiz1-(tfracx2)^2 =2raiz1-tfracx^24
E como raiz1-tfracx^24=raiz4-x^22, isso vira
2tfracraiz4-x^22=4raiz4-x^2

Passo 3

Para derivar xraiz4-x^2, aplicamos a regra do produto em u=x e v=raiz4-x^2.
Temos u'=1 e
v'=ddx(4-x^2)^1/2=tfrac12(4-x^2)^-1/2cdot(-2x)=-xraiz4-x^2
Logo,
ddx[xraiz4-x^2] =1cdotraiz4-x^2+xcdotl(-xraiz4-x^2r) =raiz4-x^2-x^2raiz4-x^2
Colocando no mesmo denominador:
4-x^2-x^2raiz4-x^2=4-2x^2raiz4-x^2

Passo 4

Agora somamos as duas partes, com denominador comum raiz4-x^2:
f'(x)=4raiz4-x^2+4-2x^2raiz4-x^2 =8-2x^2raiz4-x^2 =2(4-x^2)raiz4-x^2 =2raiz4-x^2
Pronto!

Resposta

f'(x)=2raiz4-x^2

Exercícios relacionados