Nos Exercicios de 1 a 26, ache a derivada da função dada.
f(x)=cos ^-1(sen x)

Passo 1

O exercício pede a derivada da função f(x)=\cos^{-1}(\sin x). O conteúdo envolve derivadas de funções inversas (arccos), derivadas de funções trigonométricas e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a subfunção u = \sin x. Então f(x)=\cos^{-1}(u). Pela regra da cadeia temos f’(x)=\frac{d}{du}[\cos^{-1}(u)] \cdot \frac{du}{dx}.

Passo 3

A derivada da função inversa arccos é
ddu[cos^-1(u)] = -1raiz1 - u^2
Substituindo em f’(x) obtemos f’(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx}.

Passo 4

Calculamos dudx = ddx[sin x] = cos x. Substituindo u = sin x e u' = cos x em f’(x) resulta em:
f'(x) = - cos xraiz1 - sin^2 x

Passo 5

Observando que raiz1-sin^2 x = |cos x|, podemos simplificar a derivada para
f'(x) = - cos x|cos x| = -sgn(cos x), válido para cos x neq 0.

Resposta

-cos xraiz1 - sin^2 x

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