Nos Exercicios de 1 a 26, ache a derivada da função dada.
Passo 1
O exercício pede a derivada da função f(x)=\cos^{-1}(\sin x). O conteúdo envolve derivadas de funções inversas (arccos), derivadas de funções trigonométricas e aplicação da regra da cadeia.
Passo 2
Definimos a subfunção u = \sin x. Então f(x)=\cos^{-1}(u). Pela regra da cadeia temos f’(x)=\frac{d}{du}[\cos^{-1}(u)] \cdot \frac{du}{dx}.
Passo 3
A derivada da função inversa arccos é
Substituindo em f’(x) obtemos f’(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx}.
Passo 4
Calculamos
. Substituindo
e
em f’(x) resulta em:
Passo 5
Observando que
, podemos simplificar a derivada para