Encontre a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação
Interpreto aqui
como a derivada de
em relação a
, ou seja
. Portanto a equação dada é
Informações relevantes dadas: a incógnita é a função
e temos uma equação diferencial de primeira ordem cujo termo multiplicador de
é
e o termo do lado direito é
.
Passo 2
Vamos pôr a equação na forma padrão
onde aqui
Para equações nessa forma a técnica eficiente é multiplicar por um fator integrante
tal que o lado esquerdo vire derivada de um produto. Lembrando a regra do produto, se escolhermos
com
então
ou seja multiplicando a equação original por
o lado esquerdo se torna a derivada
. A escolha natural de
é
Vou calcular esse
.
Passo 3
Calcule o integral de
:
Escolhemos
porque constantes multiplicativas no fator integrante não alteram o procedimento. Assim
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. O lado esquerdo se torna derivada do produto:
O lado direito fica
pois
. Portanto a equação transformada é
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. O lado direito integra para
mais constante de integração. Assim
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 6
Isolamos
dividindo por
:
Podemos escrever a constante
como qualquer constante real; esta expressão é a solução geral.
Passo 7
Verificação rápida (confirmação): substituindo
na equação original, calculando
por regra do produto e somando
, os termos com
e os termos com
se cancelam adequadamente, sobrando exatamente
. Isso confirma que a solução encontrada satisfaz a equação.