Encontre a solução geral de
y^{0}+3 x^{2} y=\operatorname{sen} x e^{-x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação
y^{0}+3 x^{2} y=\operatorname{sen} x e^{-x^{3}}.
Interpreto aqui y^{0} como a derivada de y em relação a x, ou seja y'(x). Portanto a equação dada é
y'(x)+3x^{2}y(x)=\sin x\,e^{-x^{3}}.
Informações relevantes dadas: a incógnita é a função y(x) e temos uma equação diferencial de primeira ordem cujo termo multiplicador de y é 3x^{2} e o termo do lado direito é \sin x\,e^{-x^{3}}.

Passo 2

Vamos pôr a equação na forma padrão
y'(x)+P(x)\,y(x)=Q(x),
onde aqui
P(x)=3x^{2},\qquad Q(x)=\sin x\,e^{-x^{3}}.
Para equações nessa forma a técnica eficiente é multiplicar por um fator integrante \mu(x) tal que o lado esquerdo vire derivada de um produto. Lembrando a regra do produto, se escolhermos \mu(x) com \mu'(x)=P(x)\mu(x) então
\big(\mu(x)y(x)\big)'=\mu(x)y'(x)+\mu'(x)y(x)=\mu(x)\big(y'(x)+P(x)y(x)\big),
ou seja multiplicando a equação original por \mu(x) o lado esquerdo se torna a derivada \big(\mu y\big)'. A escolha natural de \mu é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Vou calcular esse \mu(x).

Passo 3

Calcule o integral de P(x)=3x^{2}:
\int 3x^{2}\,dx = x^{3}+C_{0}.
Escolhemos C_{0}=0 porque constantes multiplicativas no fator integrante não alteram o procedimento. Assim
\mu(x)=e^{x^{3}}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{x^{3}}. O lado esquerdo se torna derivada do produto:
e^{x^{3}}y'(x)+3x^{2}e^{x^{3}}y(x)=\big(e^{x^{3}}y(x)\big)'.
O lado direito fica
e^{x^{3}}\cdot\big(\sin x\,e^{-x^{3}}\big)=\sin x,
pois e^{x^{3}}e^{-x^{3}}=1. Portanto a equação transformada é
\big(e^{x^{3}}y(x)\big)'=\sin x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(e^{x^{3}}y(x)\big)'\,dx = \int \sin x\,dx.
O lado esquerdo integra para e^{x^{3}}y(x). O lado direito integra para -\cos x mais constante de integração. Assim
e^{x^{3}}y(x) = -\cos x + C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 6

Isolamos y(x) dividindo por e^{x^{3}}:
y(x)=e^{-x^{3}}\big(-\cos x + C\big)= -\cos x\,e^{-x^{3}} + C e^{-x^{3}}.
Podemos escrever a constante C como qualquer constante real; esta expressão é a solução geral.

Passo 7

Verificação rápida (confirmação): substituindo y(x)=C e^{-x^{3}}-\cos x\,e^{-x^{3}} na equação original, calculando y'(x) por regra do produto e somando 3x^{2}y, os termos com C e os termos com \cos x se cancelam adequadamente, sobrando exatamente \sin x\,e^{-x^{3}}. Isso confirma que a solução encontrada satisfaz a equação.

Resposta

y(x)=C e^{-x^{3}}-\cos x\,e^{-x^{3}}

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