Resolva: \left(3 x^{2}+2 x y\right)+\left(x+y^{2}\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial
\left(3 x^{2}+2 x y\right)+\left(x+y^{2}\right) y^{\prime}=0.
As informações dadas são:
M(x,y)=3x^{2}+2xy
e
N(x,y)=x+y^{2},
no formato de forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
A única pergunta é: encontrar a solução geral (implícita ou explícita) dessa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrevemos a equação no formato usual de derivada:
\left(x+y^{2}\right)\frac{dy}{dx} = -\left(3x^{2}+2xy\right).
Ou seja,
\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^{2}+2xy}{x+y^{2}}.
Vou tentar métodos clássicos passo a passo: verificar se é exata, procurar fator integrante dependente só de x ou só de y, e testar substituições usuais.

Passo 3

Verificação de exatidão (método padrão):
  • Calculo \partial M/\partial y:
\frac{\partial M}{\partial y}=2x.
  • Calculo \partial N/\partial x:
\frac{\partial N}{\partial x}=1.
Como 2x\neq 1 em geral, a forma não é exata.

Passo 4

Testar fator integrante função somente de x. Para isso usamos a condição
\frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\text{função só de }x ?çãó
Calculando:
\frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\frac{2x-1}{x+y^{2}},
essa expressão depende também de y, logo não é função só de x. Portanto não existe fator integrante dependente somente de x por esse teste.

Passo 5

Testar fator integrante função somente de y. A condição equivalente é
\frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\text{função só de }y ?çãó
Calculando:
\frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{1-2x}{3x^{2}+2xy},
essa expressão depende também de x, logo não é função só de y. Portanto não encontramos fator integrante dependente somente de y.

Passo 6

Testes e tentativas de substituições padrão:
  • Substituição homogênea y=vx (ou x=uy): avaliando, a equação não fica só em v (aparecem termos com x isolado), então não reduz a uma equação em v apenas.
  • Tentativas de dividir por potências de x ou y e procurar formas separáveis também não produzem separação direta.
  • Testes rápidos para fatores integrantes do tipo x^{m}y^{n} e (x+y^{2})^{k} mostram que não há escolha simples de expoentes m,n,k que torne a forma exata (fiz a comparação de monômios e deu contradição).
São passos padrão que eu faria em uma prova — verificar exatidão, procurar fator integrante em x ou y, testar substituições homogêneas — e todos falharam até agora.

Passo 7

Dado que os métodos padrão não funcionaram de forma direta, o próximo nível é procurar um fator integrante mais geral (função de uma combinação u(x,y), por exemplo u=x+y^{2} ou u=y/x). Há uma técnica prática: tentar \mu=\mu(x+y^{2}). Para isso, escrever a condição de exatidão para \mu(u) leva à equação
\frac{\mu'(u)}{\mu(u)}=\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{2yM-N}
com u=x+y^{2}. Calculando os termos do lado direito obtemos uma expressão que depende de x e y separadamente (não apenas de u), logo não é função apenas de u. Conclusão: fator integrante do tipo \mu(x+y^{2}) também não funciona diretamente.

Passo 8

Também é possível procurar um fator integrante do tipo \mu= x^{m}y^{n}. Fiz a comparação dos polinômios resultantes e a condição exige igualar coeficientes de monômios distintos, o que conduz a contradição (não existe tupla (m,n) que satisfaça as igualdades para todos os termos). Portanto, não há fator integrante monomial simples.

Passo 9

Resumo do que já tentamos e conclusão interina: os métodos elementares (exatidão direta, fator integrante em x ou y, fator integrante monomial x^{m}y^{n}, substituição homogênea y=vx, substituição do tipo u=x+y^{2}) não deram redução direta a uma equação integrável por quadraturas elementares. Isso não significa que a ODE não tenha solução implícita: muitas ODEs admitirão solução implícita que se obtém por um fator integrante não trivial ou por técnicas mais avançadas (fator integrante que é função racional mais complicada, transformações não-lineares específicas, etc.). Para qualidade de prova/estudo, quando os métodos de primeiro curso falham, o caminho adequado é:
  • tentar encontrar um fator integrante \mu(x,y) resolvendo a equação PDE para \mu; ou
  • tentar uma transformação não óbvia (por exemplo troca de variáveis via funções racionais) guiada por tentativa-e-erro; ou
  • recorrer a um sistema de álgebra computacional para encontrar um fator integrante simbólico.

Passo 10

Como estudante que está se preparando para prova e precisa de uma solução passo-a-passo totalmente executável com métodos de disciplina básica (exatidão, fatores em x ou y, substituição homogênea, separação, Bernoulli, Riccati simples), a conclusão prática é: esta equação não se resolve por esses métodos elementares de forma direta. Para um enunciado de prova típico eu esperaria que a equação admitisse uma técnica elementar. Se este exercício foi proposto para prova, provavelmente falta alguma dica no enunciado (por exemplo: "use a substituição y=\dots" ou "encontre um fator integrante da forma \dots"), ou então o objetivo é exigir a dedução de um fator integrante não trivial que exige manipulação algébrica mais extensa.

Resposta

Não existe solução elementar obtida pelos métodos básicos (exatidão direta, fator integrante função só de x ou só de y, substituição homogênea y=vx, separação ou Bernoulli) — a equação requer um fator integrante ou transformação mais avançada que não é óbvia. Portanto, a solução geral só pode ser obtida implicitamente por um fator integrante não trivial ou por métodos simbólicos avançados.

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