Encontre a solução geral de
y^{0}(x)=x y+1+x+y

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre a solução geral de \,y^{0}(x)=x y+1+x+y\,".\n
Informações dadas:
\text{(i) A incógnita é a função }y(x).óéçã
\text{(ii) A equação relaciona a derivada (ou a função) de }y\text{ com }x\text{ e }y.çãçã
Observação tomada para resolver o problema (sem perguntar nada): vou interpretar \,y^{0}(x)\, como a derivada de primeira ordem \,y'(x)\,, porque essa interpretação torna a equação uma equação diferencial de primeira ordem com sentido clássico. Assim a equação que vamos resolver é
y'(x)=x\,y(x)+1+x+y(x).

Passo 2

Reescrevo a equação para pô-la na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Primeiro simplifico o lado direito juntando os termos em y:
y'(x)=\bigl(x+1\bigr)y(x)+x+1.
Agora ponho tudo no formato y'+p(x)y=q(x). Subtraindo (x+1)y de ambos os lados:
y'(x)-\bigl(x+1\bigr)y(x)=x+1.
Aqui:
\text{variável independente: }x,\qquad \text{incógnita: }y(x).áó
p(x)=-\bigl(x+1\bigr),\qquad q(x)=x+1.

Passo 3

Explico a ideia do método (integrating factor) de forma didática: para uma equação linear de primeira ordem
y'+p(x)y=q(x),
a solução geral pode ser obtida multiplicando por um fator integrante \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y(x). O fator integrante é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Isso funciona porque
\bigl(\mu y\bigr)'=\mu y'+\mu' y=\mu\bigl(y'+p y\bigr),
desde que \mu' = p\mu, i.e. \mu=\exp(\int p). Vou aplicar essa fórmula com p(x)=-\bigl(x+1\bigr).

Passo 4

Calculo o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\bigl(x+1\bigr)\,dx\right).
Faço a integral:
\int -\bigl(x+1\bigr)\,dx=-\int x\,dx-\int 1\,dx=-\frac{x^{2}}{2}-x.
Logo
\mu(x)=\exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2}-x\right)=e^{-x^{2}/2 - x}.

Passo 5

Multiplico a equação original (na forma y'-(x+1)y=x+1) por \mu(x). Pelo motivo da definição do fator integrante, o lado esquerdo vira a derivada de \mu y:
\bigl(\mu(x)\,y(x)\bigr)'=\mu(x)\bigl(x+1\bigr).
Escrevo isso explicitamente:
\frac{d}{dx}\!\left(e^{-x^{2}/2 - x}\,y(x)\right)=e^{-x^{2}/2 - x}\,(x+1).

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a x. À esquerda a integral da derivada devolve \mu y. À direita preciso calcular a integral de e^{-x^{2}/2 - x}\,(x+1). Observação útil (truque): se eu definir
\varphi(x)=-\frac{x^{2}}{2}-x,
então \varphi'(x)=-x-1=-(x+1). Assim
(x+1)e^{\varphi(x)}=-(\varphi'(x)e^{\varphi(x)})=-(e^{\varphi(x)})'.
Portanto a integral é simples:
\int e^{-x^{2}/2 - x}\,(x+1)\,dx=\int (x+1)e^{\varphi(x)}\,dx=-\int (e^{\varphi(x)})'\,dx=-e^{\varphi(x)}+C.
Voltando à expressão com \mu e \varphi:
e^{-x^{2}/2 - x}\,y(x)=-e^{-x^{2}/2 - x}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolo y(x). Multiplico por e^{x^{2}/2 + x} (que é 1/\mu):
y(x)=-1 + C\,e^{x^{2}/2 + x}.
Aqui C é uma constante arbitrária real (ou complexa, conforme contexto), e a solução é válida para todos x\in\mathbb{R} (ou no domínio onde a equação faz sentido).

Passo 8

Faço um rápido cheque mental (verificação): substituindo y(x)=-1 + C e^{x^{2}/2 + x} na equação original, ao calcular y'(x) aparece o fator (x+1)C e^{x^{2}/2 + x} e o lado direito (x+1)y + x +1 também reduz ao mesmo valor — a manipulação com o fator integrante garante que a solução está correta. Portanto a solução geral está encontrada.

Resposta

y(x)=C\,e^{x^{2}/2 + x}-1

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