Encontre a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre a solução geral de
".\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Observação tomada para resolver o problema (sem perguntar nada): vou interpretar
como a derivada de primeira ordem
, porque essa interpretação torna a equação uma equação diferencial de primeira ordem com sentido clássico. Assim a equação que vamos resolver é
Passo 2
Reescrevo a equação para pô-la na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Primeiro simplifico o lado direito juntando os termos em
:
Agora ponho tudo no formato
. Subtraindo
de ambos os lados:
Aqui:
Passo 3
Explico a ideia do método (integrating factor) de forma didática: para uma equação linear de primeira ordem
a solução geral pode ser obtida multiplicando por um fator integrante
tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. O fator integrante é definido por
Isso funciona porque
desde que
, i.e.
. Vou aplicar essa fórmula com
.
Passo 4
Calculo o fator integrante
:
Faço a integral:
Logo
Passo 5
Multiplico a equação original (na forma
) por
. Pelo motivo da definição do fator integrante, o lado esquerdo vira a derivada de
:
Escrevo isso explicitamente:
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
. À esquerda a integral da derivada devolve
. À direita preciso calcular a integral de
. Observação útil (truque): se eu definir
então
. Assim
Portanto a integral é simples:
Voltando à expressão com
e
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolo
. Multiplico por
(que é
):
Aqui
é uma constante arbitrária real (ou complexa, conforme contexto), e a solução é válida para todos
(ou no domínio onde a equação faz sentido).
Passo 8
Faço um rápido cheque mental (verificação): substituindo
na equação original, ao calcular
aparece o fator
e o lado direito
também reduz ao mesmo valor — a manipulação com o fator integrante garante que a solução está correta. Portanto a solução geral está encontrada.