(Simmons, p. 62) Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as soluções gerais da equação diferencial
Informações dadas e coisas a notar:
- A equação relaciona
, sua derivada e a variável . - O coeficiente da derivada é
, portanto em esse coeficiente é zero — isso indica que devemos ter cuidado com ; a forma padrão da técnica que vamos usar exige . - O objetivo é achar a expressão geral de
que satisfaça a equação (com a constante arbitrária de integração).
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação didática, passo a passo):
- A equação é linear de primeira ordem no formato onde aparecem
e num somatório com coeficientes dependentes de . Uma maneira padrão e direta de resolver esse tipo de equação é transformá-la para a forma
e usar o fator integrante (integrating factor). Vou explicar o que é isso:
- A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo vire a derivada de um produto . Isso transforma a equação numa coisa do tipo , que é fácil de integrar. - Para conseguir isso, escolhemos
. Vou aplicar isso em detalhe.
Passo 3
Colocar a equação na forma padrão
:
- Divido toda a equação por
(aqui assumindo ; vamos tratar depois):
- Aqui identificamos
e . - Lembre-se: essa manipulação exige
, então a solução que obtivermos valerá em intervalos que não contenham (por exemplo, ou ). Depois veremos a questão da extensão em .
Passo 4
Calcular o fator integrante
:
- Definição:
. - Aqui
. - Então
- Usando propriedades dos logaritmos e exponenciais,
. Para isso é ; para isso é . Como fator integrante é definido até uma constante multiplicativa, podemos tomar convenientemente em cada intervalo onde mantém sinal constante. Em resumo, pode-se usar
Passo 5
Multiplicar a equação padrão por
e usar a regra do produto:
- Multiplicando
por obtemos
- Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Isso decorre da regra do produto:
- Portanto podemos reescrever a equação como
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
- Integramos
para obter
onde
é a constante de integração (real arbitrária).
Passo 7
Isolar
:
- Dividindo por
(novamente ):
- Esta é a solução geral válida para
. Escrevendo de forma bonita:
Passo 8
Discussão sobre
e regularidade:
- A equação original tem o coeficiente de
igual a , então é um ponto singular da equação (não podemos simplesmente dividir por nele). - Se quisermos uma solução definida em um intervalo que contenha
, precisamos verificar se existe alguma constante tal que a expressão encontrada tenha limite finito em . - Da expressão
, o termo explode quando a menos que . - Portanto, a única solução da família que pode ser estendida para um valor finito em
é obtida com , dando , que se estende continuamente a . Neste caso é até diferenciável em e satisfaz , compatível com a equação original avaliada em (pois o termo anula-se em ).
Passo 9
Verificação rápida (check):
- Podemos verificar derivando a solução geral:
-
implica
- Calculando
:
- Os termos com
se cancelam e o resultado é , como no enunciado. Portanto a solução está correta.
-