(Simmons, p. 62) Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
x \frac{dy}{dx}+3y = x^4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as soluções gerais da equação diferencial
x\frac{dy}{dx}+3y = x^4.
Informações dadas e coisas a notar:
  • A equação relaciona y, sua derivada \frac{dy}{dx} e a variável x.
  • O coeficiente da derivada é x, portanto em x=0 esse coeficiente é zero — isso indica que devemos ter cuidado com x=0; a forma padrão da técnica que vamos usar exige x\neq0.
  • O objetivo é achar a expressão geral de y(x) que satisfaça a equação (com a constante arbitrária de integração).

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática, passo a passo):
  • A equação é linear de primeira ordem no formato onde aparecem y e y' num somatório com coeficientes dependentes de x. Uma maneira padrão e direta de resolver esse tipo de equação é transformá-la para a forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)
e usar o fator integrante (integrating factor). Vou explicar o que é isso:
  • A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo vire a derivada de um produto \big(\mu(x)\,y(x)\big)'. Isso transforma a equação numa coisa do tipo (\mu y)' = \text{algo}, que é fácil de integrar.
  • Para conseguir isso, escolhemos \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}. Vou aplicar isso em detalhe.

Passo 3

Colocar a equação na forma padrão \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x):
  • Divido toda a equação por x (aqui assumindo x\neq0; vamos tratar x=0 depois):
\frac{dy}{dx} + \frac{3}{x} y = x^3.
  • Aqui identificamos P(x)=\dfrac{3}{x} e Q(x)=x^3.
  • Lembre-se: essa manipulação exige x\neq0, então a solução que obtivermos valerá em intervalos que não contenham 0 (por exemplo, x>0 ou x<0). Depois veremos a questão da extensão em 0.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x):
  • Definição: \mu(x)=\exp\!\big(\int P(x)\,dx\big).
  • Aqui \int P(x)\,dx = \int \frac{3}{x}\,dx = 3\ln|x|.
  • Então
\mu(x) = e^{3\ln|x|}.
  • Usando propriedades dos logaritmos e exponenciais, e^{3\ln|x|} = |x|^3. Para x>0 isso é x^3; para x<0 isso é (-x)^3 = -x^3. Como fator integrante é definido até uma constante multiplicativa, podemos tomar convenientemente \mu(x)=x^3 em cada intervalo onde x mantém sinal constante. Em resumo, pode-se usar
\mu(x)=x^3\qquad (x\neq0).

Passo 5

Multiplicar a equação padrão por \mu(x) e usar a regra do produto:
  • Multiplicando \frac{dy}{dx} + \frac{3}{x} y = x^3 por x^3 obtemos
x^3\frac{dy}{dx} + 3x^2 y = x^6.
  • Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^3 y. Isso decorre da regra do produto:
\big(x^3 y\big)' = x^3 \frac{dy}{dx} + 3x^2 y.
  • Portanto podemos reescrever a equação como
\big(x^3 y\big)' = x^6.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
  • Integramos \big(x^3 y\big)' = x^6 para obter
x^3 y = \int x^6 \,dx = \frac{x^7}{7} + C,
onde C é a constante de integração (real arbitrária).

Passo 7

Isolar y(x):
  • Dividindo por x^3 (novamente x\neq0):
y(x) = \frac{x^7/7 + C}{x^3} = \frac{x^7}{7x^3} + \frac{C}{x^3} = \frac{x^4}{7} + C x^{-3}.
  • Esta é a solução geral válida para x\neq0. Escrevendo de forma bonita:
y(x) = \frac{1}{7}x^4 + C\,x^{-3},\qquad x\neq0.

Passo 8

Discussão sobre x=0 e regularidade:
  • A equação original tem o coeficiente de \frac{dy}{dx} igual a x, então x=0 é um ponto singular da equação (não podemos simplesmente dividir por x nele).
  • Se quisermos uma solução definida em um intervalo que contenha 0, precisamos verificar se existe alguma constante C tal que a expressão encontrada tenha limite finito em 0.
  • Da expressão y(x)=\frac{x^4}{7}+C x^{-3}, o termo C x^{-3} explode quando x\to0 a menos que C=0.
  • Portanto, a única solução da família que pode ser estendida para um valor finito em x=0 é obtida com C=0, dando y(x)=\dfrac{x^4}{7}, que se estende continuamente a y(0)=0. Neste caso y é até diferenciável em 0 e satisfaz 3y(0)=0, compatível com a equação original avaliada em x=0 (pois o termo x\frac{dy}{dx} anula-se em x=0).

Passo 9

Verificação rápida (check):
  • Podemos verificar derivando a solução geral:
    • y(x)=\dfrac{x^4}{7}+C x^{-3} implica
    \frac{dy}{dx} = \frac{4}{7}x^3 - 3C x^{-4}.
    • Calculando x\frac{dy}{dx}+3y:
    x\left(\frac{4}{7}x^3 - 3C x^{-4}\right) + 3\left(\frac{x^4}{7}+C x^{-3}\right) = \frac{4}{7}x^4 - 3C x^{-3} + \frac{3}{7}x^4 + 3C x^{-3} = x^4.
    • Os termos com C se cancelam e o resultado é x^4, como no enunciado. Portanto a solução está correta.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{1}{7}x^4 + C\,x^{-3},\quad x\neq0\n \displaystyle y(x)=\frac{1}{7}x^4

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