Encontre a solução geral de y^prime prime+5 y^prime+6 y=0. Encontre, também, a solução que satisfaz as condições iniciais y(0)=1 e y^prime(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 5y' + 6y = 0,
além de determinar a solução que satisfaz as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-1. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico substituindo y = e^rx na equação homogênea. Isso leva a
r^2 + 5r + 6 = 0

Passo 3

Fatorando o polinômio característico temos
r^2 + 5r + 6 = (r + 2)(r + 3) = 0,
logo as raízes são r1 = -2 e r2 = -3. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é combinação linear das exponenciais correspondentes.

Passo 4

A solução geral fica
y(x) = C1 e^-2x + C2 e^-3x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Para aplicar as condições iniciais, calculamos primeiro a derivada:
y'(x) = -2C1 e^-2x - 3C2 e^-3x
Em x=0 isso dá
y(0) = C1 + C2 = 1,
y'(0) = -2C1 - 3C2 = -1

Passo 6

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 1, -2C1 - 3C2 = -1,
da primeira equação temos C1 = 1 - C2. Substituindo na segunda:
-2(1 - C2) - 3C2 = -1 implies -2 + 2C2 - 3C2 = -1 implies -2 - C2 = -1 implies C2 = -1
Então C1 = 1 - (-1) = 2.

Passo 7

Portanto, a solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = 2e^-2x - e^-3x

Resposta

A solução geral é y(x)=C1e^-2x+C2e^-3x. A solução que satisfaz y(0)=1 e y'(0)=-1 é y(x)=2e^-2x-e^-3x.

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