Se
f(t)=e^t i+e^-t j+raiz2 t k
Determine kappa(t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a curvatura kappa(t) da curva no espaço dada por f(t)=e^t,i+e^-t,j+raiz2,t,k. O tema é curvatura de uma curva espacial, e vamos usar a fórmula kappa=|r'times r''||r'|^3, precisando de r'(t) e r''(t).

Passo 2

Derivando componente a componente, obtemos
r'(t)=l(e^t,,-e^-t,,raiz2r),
e
r''(t)=l(e^t,,e^-t,,0r)

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial r'(t)times r''(t). Fazendo o determinante, achamos
r'times r''=-raiz2,e^-t,i+raiz2,e^t,j+2,k

Passo 4

A norma desse vetor é
|r'times r''|=raiz(!-raiz2,e^-t)^2+(raiz2,e^t)^2+2^2=raiz2e^-2t+2e^2t+4

Passo 5

A norma de r'(t) é
|r'|=raiz(e^t)^2+(-e^-t)^2+(,raiz2,)^2=raize^2t+e^-2t+2

Passo 6

Substituindo na fórmula de curvatura,
kappa(t)=raiz2e^-2t+2e^2t+4l(e^2t+e^-2t+2r)^3/2

Passo 7

Observe que 2e^-2t+2e^2t+4=2l(e^2t+e^-2t+2r), então
kappa(t)=raiz2l(e^2t+e^-2t+2r)l(e^2t+e^-2t+2r)^3/2=raiz2e^2t+e^-2t+2
e, usando e^2t+e^-2t+2=(e^t+e^-t)^2=4cosh^2t, resulta
kappa(t)=raiz24cosh^2t=12raiz2,cosh^2t

Resposta

kappa(t)=12raiz2,cosh^2t

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