A posição de uma partícula é tal que
dd t r(t)=3 i+4 j-t k e r(0)=2 k
Determine o comprimento da trajetória percorrida desde t=0 até chegar ao plano X Y.

Passo 1

Vamos resumir o que temos: a velocidade da partícula é dada por ddtr(t)=3i+4j-tk e a condição inicial é r(0)=2k. A tarefa é calcular o comprimento da trajetória desde t=0 até atingir o plano XY. Aqui vamos usar integração de vetores para obter r(t), resolver para o instante em que z=0 e depois aplicar o conceito de comprimento de arco de curva no espaço.

Passo 2

Para encontrar r(t), integramos cada componente de ddtr(t). Como
r(t)=integral(3i+4j-tk),dt=3ti+4tj-t^22k+C,
e a condição r(0)=2k nos dá C=2k. Então
r(t)=3ti+4tj+l(2-t^22r)k

Passo 3

Queremos o instante em que a partícula atinge o plano XY, ou seja, quando a componente z(t)=0. Da expressão acima temos
2-t^22=0Longrightarrow t^2=4Longrightarrow t=2;(t>=0)

Passo 4

O comprimento de arco de uma trajetória r(t) de t=a até t=b é
s=integrala^bllVertddtr(t)rrVert,dt
No nosso caso a=0, b=2 e
llVertddtr(t)rrVert=raiz3^2+4^2+(-t)^2=raiz25+t^2
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s=integral0^2raiz25+t^2,dt

Passo 5

Para essa integral usamos a primitiva padrão
integralraizt^2+a^2,dt=t2raizt^2+a^2+a^22lnl(t+raizt^2+a^2r)+C,
com a=5. Avaliando de 0 a 2,
s=l[t2raizt^2+25+252ln(t+raizt^2+25)r]0^2

Passo 6

Avaliando nos limites e simplificando, obtemos a forma final abaixo.

Resposta

s=raiz29+252ln!l(tfrac2+raiz295r)

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