Encontre o volume do sólido de revolução gerado quando a área descrita em cada item abaixo é rotacionada em torno do eixo x.
Área da região delimitada pelas curvas y=x, x=0 e x=4.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Precisamos calcular o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região delimitada por y=x, x=0 e x=4. Vamos usar o método dos discos, que é a técnica padrão para volumes de revolução quando a fatia é perpendicular ao eixo de rotação.

Passo 2

Aplicando o método dos discos: cada fatia em x é um disco de raio r(x)=y=x e espessura dx, então sua área vale
A(x)=pi [r(x)]^2 = pi x^2
e o volume total é
V = integral0^4 A(x),dx = integral0^4 pi x^2 , dx

Passo 3

Calculando a integral: extraindo o pi temos
V = pi integral0^4 x^2 , dx
e como integral x^2,dx = tfracx^33, obtemos
integral0^4 x^2 , dx = tfracx^33|0^4 = tfrac643

Resposta

tfrac64pi3

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