Determine a solução particular de y^prime prime-4 y^prime+4 y=3 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação diferencial linear com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 4y = 3e^2x
O conteúdo é método dos coeficientes não determinados para EDO não-homogênea.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea é
r^2 - 4r + 4 = (r - 2)^2,
com raiz r=2 de multiplicidade 2. Como o termo não-homogêneo é 3e^2x e 2 é raiz de ordem 2, escolhemos o ansatz
yp(x) = A x^2 e^2x

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp usando regra do produto:
yp = A x^2 e^2x,
yp' = ddx(A x^2 e^2x) = 2A e^2x(x^2 + x),
yp'' = ddxl[2A e^2x(x^2 + x)r] = 2A e^2x(2x^2 + 4x + 1)

Passo 4

Substituindo em L[y]=y''-4y'+4y:
L[yp] = e^2xl[4A x^2+8A x+2A - (8A x^2+8A x) +4A x^2r] = 2A e^2x
Igualando a 3e^2x
2A e^2x = 3e^2x Longrightarrow A = tfrac32

Passo 5

Substituindo A=tfrac32 no ansatz resulta
yp(x) = 32,x^2 e^2x

Resposta

yp(x) = 32,x^2 e^2x

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