Encontre a solução geral para
y^prime prime-3 y^prime-4 y=2 sen t
Obs: note que esta não é homogênea.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou:
y^prime prime - 3 y^prime - 4 y = 2 sin t
Essa equação é do tipo não homogênea porque do lado direito temos 2 sin t. Para resolver, vamos precisar usar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. A gente vai precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
y^prime prime - 3 y^prime - 4 y = 0
Para isso, a gente monta a equação característica associada, que é uma forma de transformar a equação diferencial em uma equação algébrica. A equação característica fica assim:
r^2 - 3 r - 4 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação característica para encontrar os valores de r. Resolvendo a equação quadrática:
r^2 - 3 r - 4 = 0
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm raiz252 = 3 pm 52
Então, temos duas soluções:
r1 = 3 + 52 = 4 e r2 = 3 - 52 = -1

Passo 4

Com os valores de r encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^4 t + C2 e^- t
Aqui, C1 e C2 são constantes que a gente determina com condições iniciais, mas como a questão pede só a solução geral, a gente deixa assim mesmo.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação não homogênea:
y^prime prime - 3 y^prime - 4 y = 2 sin t
Como o lado direito é 2 sin t, vamos assumir uma forma para yp que envolva funções senoidais. Geralmente, tentamos:
yp(t) = A cos t + B sin t
Onde A e B são constantes que vamos determinar.

Passo 6

Vamos derivar yp(t) para substituir na equação original.
Primeira derivada:
yp^prime(t) = -A sin t + B cos t
Segunda derivada:
yp^prime prime(t) = -A cos t - B sin t

Passo 7

Substituindo yp, yp^prime e yp^prime prime na equação diferencial:
(-A cos t - B sin t) - 3(-A sin t + B cos t) - 4(A cos t + B sin t) = 2 sin t
Vamos simplificar os termos:
- A cos t - B sin t + 3 A sin t - 3 B cos t - 4 A cos t - 4 B sin t = 2 sin t
Agrupando os termos semelhantes:
(-A - 3B - 4A) cos t + (-B + 3A - 4B) sin t = 2 sin t
Simplificando:
(-5A - 3B) cos t + (3A - 5B) sin t = 2 sin t

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de cos t e sin t dos dois lados da equação:
Para cos t:
-5A - 3B = 0
Para sin t:
3A - 5B = 2
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 9

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
-5A - 3B = 0 Rightarrow 5A + 3B = 0 Rightarrow A = -35B
  1. Substituindo A na segunda equação:
3(-35B) - 5B = 2 Rightarrow -95B - 5B = 2
Multiplicando todos os termos por 5 para eliminar o denominador:
-9B - 25B = 10 Rightarrow -34B = 10 Rightarrow B = -1034 = -517
  1. Encontrando A:
A = -35 times (-517) = 1585 = 317

Passo 10

Então, a solução particular é:
yp(t) = 317 cos t - 517 sin t

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^4 t + C2 e^- t + 317 cos t - 517 sin t

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
y(t) = C1 e^4 t + C2 e^- t + 317 cos t - 517 sin t
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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