Encontre a solução geral para
Obs: note que esta não é homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou:
Essa equação é do tipo não homogênea porque do lado direito temos
. Para resolver, vamos precisar usar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. A gente vai precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Para isso, a gente monta a equação característica associada, que é uma forma de transformar a equação diferencial em uma equação algébrica. A equação característica fica assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação característica para encontrar os valores de
. Resolvendo a equação quadrática:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Com os valores de
encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais, mas como a questão pede só a solução geral, a gente deixa assim mesmo.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
, vamos assumir uma forma para
que envolva funções senoidais. Geralmente, tentamos:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 6
Vamos derivar
para substituir na equação original.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Vamos simplificar os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de
e
dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Passo 9
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo
na segunda equação:
Multiplicando todos os termos por 5 para eliminar o denominador:
- Encontrando
:
Passo 10
Então, a solução particular é:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.