Resolva o seguinte problema de valor inicial:
com as condições iniciais
e
.
Passo 1
Neste exercício temos uma equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes:
, sujeita às condições iniciais
e
. Vamos usar a equação característica para encontrar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Substituindo
na equação diferencial, obtemos a equação característica
e resolvendo via Bhaskara:
Passo 3
Como as raízes são complexas conjugadas
, a teoria de EDOs diz que a solução geral é
Passo 4
Para usar as condições iniciais, calculamos a derivada de
. Usando regra do produto e cadeia, temos
Passo 5
Aplicando
na expressão de
, obtemos
. Em
, substituindo
dá
,
o que leva a .
o que leva a
Passo 6
Substituindo
e
na forma geral, obtemos a solução particular que satisfaz o PVI.
Resposta
y(x) = e^{-2x}(\cos x + \sin x)