Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y^prime prime+4 y^prime+5 y=0 com as condições iniciais y(0)=1 e y^prime(0)=-1.

Passo 1

Neste exercício temos uma equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes: y'' + 4y' + 5y = 0, sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-1. Vamos usar a equação característica para encontrar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Substituindo y=e^rx na equação diferencial, obtemos a equação característica
r^2 + 4r + 5 = 0
e resolvendo via Bhaskara:
r = -4 pm raiz(-4)^2 - 4cdot1cdot52cdot1 = -2 pm i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -2 pm i, a teoria de EDOs diz que a solução geral é
y(x) = e^-2xl(C1cos x + C2sin xr)

Passo 4

Para usar as condições iniciais, calculamos a derivada de y(x). Usando regra do produto e cadeia, temos
y'(x) = -2e^-2x(C1cos x + C2sin x) + e^-2x(-C1sin x + C2cos x)

Passo 5

Aplicando y(0)=1 na expressão de y(x), obtemos C1 = 1. Em y'(0), substituindo x=0
-2cdot C1 + C2 = -1,
o que leva a C2 = 1.

Passo 6

Substituindo C1 = 1 e C2 = 1 na forma geral, obtemos a solução particular que satisfaz o PVI.

Resposta

y(x) = e^{-2x}(\cos x + \sin x)

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