Resolva o seguinte problema de valor inicial:
com as condições iniciais
e
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ - 4y’ + 5y = 0 $, com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 2 $. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e resolver a equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma $ y’’ + a y’ + b y = 0 $, a equação característica é $ r^2 + a r + b = 0 $. No nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^2 - 4r + 5 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são complexas: $ r = 2 + i $ e $ r = 2 - i $.
Passo 4
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde $ \alpha = 2 $ e $ \beta = 1 $. Substituindo esses valores, temos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
Então, $ C_1 = 0 $.
A função fica:
Agora, derivamos $ y(t) $ para usar a condição $ y’(0) = 2 $:
Aplicando $ t = 0 $:
Então, $ C_2 = 2 $.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: