Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y^prime prime-4 y^prime+5 y=0 com as condições iniciais y(0)=0 e y^prime(0)=2.

Passo 1

Vamos resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ - 4y’ + 5y = 0 $, com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 2 $. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e resolver a equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma $ y’’ + a y’ + b y = 0 $, a equação característica é $ r^2 + a r + b = 0 $. No nosso caso:
y'' + a y' + b y = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^2 - 4r + 5 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 - 4r + 5 = 0
As raízes são complexas: $ r = 2 + i $ e $ r = 2 - i $.

Passo 4

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = e^alpha t [ C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) ]
Onde $ \alpha = 2 $ e $ \beta = 1 $. Substituindo esses valores, temos:
alpha = 2

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
C1
Então, $ C_1 = 0 $.
A função fica:
C2
Agora, derivamos $ y(t) $ para usar a condição $ y’(0) = 2 $:
t = 0
Aplicando $ t = 0 $:
y(0) = e^0 [ C1 cos(0) + C2 sin(0) ] = C1 = 0
Então, $ C_2 = 2 $.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 2 e^2t sin(t)

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