Encontre a solução geral para
Obs: note que esta não é homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou:
Estamos lidando com Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, usamos a equação característica. Substituímos $ y = e^{rt} $ na equação homogênea, o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática para $ r $, temos:
Então, as raízes são $ r = 4 $ e $ r = -1 $.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p(t) $) para a equação completa:
Como o termo do lado direito é $ 3 e^{2 t} $, vamos tentar uma solução na forma:
Derivando $ y_p(t) $:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Resolvendo para $ A $:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.