Encontre a solução geral para
y^prime prime-3 y^prime-4 y=3 e^2 t
Obs: note que esta não é homogênea.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou:
y'' - 3 y' - 4 y = 3 e^2 t
Estamos lidando com Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 3 y' - 4 y = 0
Para isso, usamos a equação característica. Substituímos $ y = e^{rt} $ na equação homogênea, o que nos dá:
y = e^rt
Resolvendo essa equação quadrática para $ r $, temos:
r^2 - 3r - 4 = 0
Então, as raízes são $ r = 4 $ e $ r = -1 $.

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^4t + C2 e^-t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p(t) $) para a equação completa:
yp(t)
Como o termo do lado direito é $ 3 e^{2 t} $, vamos tentar uma solução na forma:
y'' - 3 y' - 4 y = 3 e^2 t
Derivando $ y_p(t) $:
3 e^2 t
yp(t) = A e^2 t
Substituindo na equação original:
yp(t)
Simplificando:
yp'(t) = 2A e^2 t
yp''(t) = 4A e^2 t
Resolvendo para $ A $:
4A e^2 t - 3(2A e^2 t) - 4(A e^2 t) = 3 e^2 t
Então, a solução particular é:
4A e^2 t - 6A e^2 t - 4A e^2 t = 3 e^2 t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^4 t + C2 e^- t - 12 e^2 t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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