Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^prime-y=1+t e^t, y(0)=0;

Passo 1

O exercício apresenta a EDO y'-y=1+t e^t com condição inicial y(0)=0. Vamos usar transformada de Laplace para encontrar a solução.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Como Ly'=sY(s)-y(0) e Ly=Y(s), temos:
(sY(s)-y(0)) - Y(s) = L1 + Lt e^t = 1s + 1(s-1)^2
Como y(0)=0, isso vira
(s-1)Y(s)=1s+1(s-1)^2

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s)=1(s-1)s+1(s-1)^3
Fazendo frações parciais em 1/((s-1)s):
1s(s-1)=-1s+1s-1
Então
Y(s)=-1s+1s-1+1(s-1)^3

Passo 4

Aplicamos a transformada inversa termo a termo. Sabendo que
y(t) = -1 + e^t + t^2e^t2
obtemos

Passo 5

Conferindo a condição inicial: y(0)=-1+1+0=0, batendo com y(0)=0. Tudo certo.

Resposta

y(t)=e^t - 1 + t^2e^t2

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