Encontre a solução geral de 4 y^prime prime-4 y^prime+3 y=0. Encontre, também, a solução que satisfaz as condições iniciais y(0)=1 e y^prime(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral e a solução particular da EDO 4y'' - 4y' + 3y = 0, com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-1. O conteúdo necessário é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, resolvida via equação característica.

Passo 2

Montamos a equação característica associada à EDO:
4r^2 - 4r + 3 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante e as raízes:
De
r = 4 pm raiz-322cdot4 = 4 pm 4iraiz28 = 12 pm iraiz22

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas r = alpha pm ibeta com alpha = tfrac12 e beta = tfracraiz22, a solução geral da EDO é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r) = e^x/2l(C1cos(tfracraiz22x) + C2sin(tfracraiz22x)r)

Passo 5

Para aplicar as condições iniciais, calculamos y'(x). Derivando y(x) obtemos:
y'(x) = e^x/2l(tfrac12(C1costfracraiz22x + C2sintfracraiz22x)) + e^x/2l(-C1tfracraiz22sintfracraiz22x + C2tfracraiz22costfracraiz22x)r)

Passo 6

Avaliando em x=0:
y(0) = C1 = 1,
y derivada(0) = tfrac12 C1 + tfracraiz22C2 = -1

Passo 7

Como C1=1, temos
tfrac12 + tfracraiz22C2 = -1

Passo 8

Resolver para C2:
tfracraiz22C2 = -tfrac32
C2 = -tfrac32 cdot 2raiz2 = -tfrac3raiz2 = -tfrac3raiz22

Passo 9

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = e^x/2l(C1cos(tfracraiz22x) + C2sin(tfracraiz22x)r)
A solução que atende y(0)=1 e y'(0)=-1 é
y(x) = e^x/2l(cosl(tfracraiz22xr) - tfrac3raiz22,sinl(tfracraiz22xr)r)

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