Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera quando o raio varia de 4 cm a 4,2 cm.
Obs. O volume da esfera é: V(r)=4 pi r^33

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre como calcular o aumento aproximado do volume de uma esfera quando o raio muda de 4 cm para 4,2 cm. O conteúdo aqui envolve cálculo de diferenciais, que é uma ferramenta útil para estimar pequenas mudanças em funções. Vamos usar a fórmula do volume da esfera e os diferenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de uma esfera. Ela é dada por:
V(r) = 4 pi r^33
Aqui, $ V $ é o volume e $ r $ é o raio da esfera. Nosso objetivo é descobrir quanto o volume aumenta quando o raio passa de 4 cm para 4,2 cm.

Passo 3

Para usar os diferenciais, precisamos encontrar a derivada da função volume em relação ao raio, ou seja, $ V’® $. A derivada nos diz como o volume muda quando o raio muda infinitesimalmente.
Vamos derivar $ V® $:
V'(r)
Então, $ V’® = 4 \pi r^{2} $.

Passo 4

Agora, vamos calcular o incremento no raio, que é a diferença entre o novo raio e o raio inicial:
De

Passo 5

Com o diferencial $ dV $ que representa a mudança aproximada no volume quando o raio muda $ \Delta r $, usamos a fórmula:
dV
Isso nos dá uma estimativa de quanto o volume vai aumentar.

Passo 6

Vamos agora calcular $ V’(4) $ substituindo $ r = 4 $ cm na derivada que encontramos:
V'(4)
Agora, multiplicamos isso pelo incremento $ \Delta r = 0,2 $ cm:
r = 4

Resposta

O aumento aproximado do volume da esfera quando o raio passa de 4 cm para 4,2 cm é de $ 12,8 \pi , cm^3 $, o que dá aproximadamente 40,21 cm³.

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