Verifique que as equações abaixo são homogêneas e encontre suas soluções gerais:
x^{2} y^{0}-3 x y-2 y^{2}=0$.
x^{2} y^{0}-3 x y-2 y^{2}=0$.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a equação
é homogênea e, em seguida, encontrar as suas soluções gerais. As informações dadas são:
- a equação escrita acima (note que
, ou seja, o primeiro termo é simplesmente ); - devemos mostrar que todos os termos têm o mesmo grau (verificação de homogeneidade);
- devemos obter todas as soluções
que satisfazem a equação.
Passo 2
O que significa ser uma equação homogênea (no sentido de polinômios)? Significa que todos os termos não nulos do polinômio têm a mesma soma dos expoentes (grau total). Vamos calcular o grau de cada termo:
- o termo
tem grau ; - o termo
tem grau ; - o termo
tem grau .
Como todos os termos têm grau
, a equação é de fato um polinômio homogêneo de grau
. Portanto verificamos a homogeneidade.
Passo 3
Estratégia para resolver a equação homogênea
:
- se
podemos dividir ambos os lados por e introduzir a variável auxiliar . Isso reduz a equação a uma equação em (mais simples de resolver); - devemos também considerar o caso
separadamente, porque não podemos dividir por zero.
Passo 4
Dividindo a equação por
(assumindo
) obtemos
Definindo
, a equação fica a quadrática
Passo 5
Vamos resolver a quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim existem duas soluções para
:
Passo 6
Voltando para as variáveis originais,
implica
. Portanto, para
as soluções são as retas
Agora o caso
: substituindo na equação original obtemos
, logo
. Portanto o único ponto com
que satisfaz a equação é o par
, que é a solução trivial.
Observação adicional (útil na prova): a quadrática em
pode também ser vista como fatoração do polinômio homogêneo:
onde
e
são as raízes encontradas
. Isso dá as duas retas mencionadas.