Verifique que as equações abaixo são homogêneas e encontre suas soluções gerais:
x^{2} y^{0}-3 x y-2 y^{2}=0$.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a equação
x^{2} y^{0}-3 x y-2 y^{2}=0
é homogênea e, em seguida, encontrar as suas soluções gerais. As informações dadas são:
  • a equação escrita acima (note que y^{0}=1, ou seja, o primeiro termo é simplesmente x^{2});
  • devemos mostrar que todos os termos têm o mesmo grau (verificação de homogeneidade);
  • devemos obter todas as soluções (x,y) que satisfazem a equação.

Passo 2

O que significa ser uma equação homogênea (no sentido de polinômios)? Significa que todos os termos não nulos do polinômio têm a mesma soma dos expoentes (grau total). Vamos calcular o grau de cada termo:
  • o termo \,x^{2}y^{0}\, tem grau 2+0=2;
  • o termo \,-3xy\, tem grau 1+1=2;
  • o termo \,-2y^{2}\, tem grau 0+2=2.
Como todos os termos têm grau 2, a equação é de fato um polinômio homogêneo de grau 2. Portanto verificamos a homogeneidade.

Passo 3

Estratégia para resolver a equação homogênea x^{2}-3xy-2y^{2}=0:
  • se y\neq 0 podemos dividir ambos os lados por y^{2} e introduzir a variável auxiliar \,t=\dfrac{x}{y}\,. Isso reduz a equação a uma equação em t (mais simples de resolver);
  • devemos também considerar o caso y=0 separadamente, porque não podemos dividir por zero.

Passo 4

Dividindo a equação por y^{2} (assumindo y\neq 0) obtemos
\left(\frac{x}{y}\right)^{2}-3\left(\frac{x}{y}\right)-2=0.
Definindo \,t=\dfrac{x}{y}\,, a equação fica a quadrática
t^{2}-3t-2=0.

Passo 5

Vamos resolver a quadrática \,t^{2}-3t-2=0. Usando a fórmula de Bhaskara:
t=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1} =\frac{3\pm\sqrt{9+8}}{2} =\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}.
Assim existem duas soluções para t:
t_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2},\qquad t_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}.

Passo 6

Voltando para as variáveis originais, t=\dfrac{x}{y} implica x=t y. Portanto, para y\neq 0 as soluções são as retas
x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\,y \qquad\text{ou}\qquad x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\,y.
Agora o caso y=0: substituindo na equação original obtemos x^{2}=0, logo x=0. Portanto o único ponto com y=0 que satisfaz a equação é o par (0,0), que é a solução trivial.
Observação adicional (útil na prova): a quadrática em t pode também ser vista como fatoração do polinômio homogêneo:
x^{2}-3xy-2y^{2}=(x-\alpha y)(x-\beta y),
onde \alpha e \beta são as raízes encontradas \alpha,\beta=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{2}. Isso dá as duas retas mencionadas.

Resposta

x=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\,y
x=\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\,y
(x,y)=(0,0)

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