( 2,5 \mathrm{pt} ) Resolve o problema do valor de contorno
x^{2} y^{\prime \prime}-13 x y^{\prime}+49 y=0, \quad y(1)=0, \quad y(e)=e^{7} .

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de contorno
x^{2}y''-13x\,y'+49y=0,\quad y(1)=0,\quad y(e)=e^{7}.
Trata-se de uma equação de Euler–Cauchy, em que se usa o ansatz y=x^{m}.

Passo 2

Assumindo y=x^{m}, temos
y'=m\,x^{m-1},\quad y''=m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo em \;x^{2}y''-13x\,y'+49y=0, vem
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr]-13x\bigl[mx^{m-1}\bigr]+49x^{m}=0 \;\Longrightarrow\; \bigl[m(m-1)-13m+49\bigr]x^{m}=0.
A equação indicial é
m(m-1)-13m+49=0 \;\Longrightarrow\; m^{2}-14m+49=0.

Passo 3

O discriminante é
\Delta =(-14)^{2}-4\cdot1\cdot49=196-196=0,
logo há raiz dupla
m=\frac{14}{2}=7.

Passo 4

Para raiz dupla m=7, a solução geral da equação homogênea é
y(x)=C_{1}\,x^{7}+C_{2}\,x^{7}\ln(x).

Passo 5

Impondo y(1)=0:
y(1)=C_{1}\cdot1^{7}+C_{2}\cdot1^{7}\ln(1)=C_{1}+0=0 \;\Longrightarrow\; C_{1}=0.
Fica y(x)=C_{2}x^{7}\ln(x).

Passo 6

Impondo y(e)=e^{7}:
y(e)=C_{2}e^{7}\ln(e)=C_{2}e^{7}=e^{7} \;\Longrightarrow\; C_{2}=1.

Resposta

y(x)=x^{7}\ln(x).

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