(
) Atençõ: neste problema, todos os valores numéricos são dados no Sistema Internacional (portanto, não é necessário fazer nenhuma conversão de unidades). Um bloco de massa de 1 kg desliza sobre um eixo horizontal, preso a uma mola de constante elástica
. O bloco está sujeito a uma força periódica externa
. Inicialmente o bloco encontra-se em repouso e na posição do equilíbrio.
(2) Escreva o PVI (equação diferencial e condições iniciais) que descreve a posição
do bloco em função do tempo.
(b) Encontre a solução deste PVI.
(2) Escreva o PVI (equação diferencial e condições iniciais) que descreve a posição
(b) Encontre a solução deste PVI.
Passo 1
O enunciado descreve um bloco de massa
ligado a uma mola de constante elástica
, sujeito a uma força externa
. O bloco move-se sem atrito e parte do repouso na posição de equilíbrio. O conteúdo é equação diferencial de um oscilador forçado sem amortecimento. Vamos usar a segunda lei de Newton para montar a ODE e em seguida resolver o PVI.
Passo 2
Pela segunda lei de Newton temos
Substituindo
,
e
, a equação diferencial fica
e as condições iniciais são
Passo 3
Resolvendo primeiro a equação homogênea
a equação característica é
, com raízes
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 4
Como a frequência de forçamento
coincide com a frequência natural
, há ressonância. Para o particular, usamos o ansatz
Passo 5
Calculando
e igualando a
obtemos após simplificação
Comparando coeficientes:
Assim
Passo 6
A solução geral do PVI é
Passo 7
Aplicando
dá
. Depois
, e
leva a
, logo
.