( 2,5 \mathrm{pt} ) Atençõ: neste problema, todos os valores numéricos são dados no Sistema Internacional (portanto, não é necessário fazer nenhuma conversão de unidades). Um bloco de massa de 1 kg desliza sobre um eixo horizontal, preso a uma mola de constante elástica 64 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O bloco está sujeito a uma força periódica externa F(t)=5 \cos 8 t. Inicialmente o bloco encontra-se em repouso e na posição do equilíbrio.
(2) Escreva o PVI (equação diferencial e condições iniciais) que descreve a posição x(t) do bloco em função do tempo.
(b) Encontre a solução deste PVI.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=1\:\mathrm{kg} ligado a uma mola de constante elástica k=64\:\mathrm{N/m}, sujeito a uma força externa F(t)=5\cos 8t. O bloco move-se sem atrito e parte do repouso na posição de equilíbrio. O conteúdo é equação diferencial de um oscilador forçado sem amortecimento. Vamos usar a segunda lei de Newton para montar a ODE e em seguida resolver o PVI.

Passo 2

Pela segunda lei de Newton temos
m\,x''(t)+k\,x(t)=F(t).
Substituindo m=1, k=64 e F(t)=5\cos8t, a equação diferencial fica
x''(t)+64\,x(t)=5\cos8t,
e as condições iniciais são
x(0)=0,\qquad x'(0)=0.

Passo 3

Resolvendo primeiro a equação homogênea
x''+64x=0,
a equação característica é \lambda^2+64=0, com raízes \lambda=\pm8i. Logo a solução geral homogênea é
x_h(t)=C_1\cos8t+C_2\sin8t.

Passo 4

Como a frequência de forçamento \omega=8 coincide com a frequência natural \sqrt{64}=8, há ressonância. Para o particular, usamos o ansatz
x_p(t)=t\bigl(A\cos8t+B\sin8t\bigr).

Passo 5

Calculando x_p''+64x_p e igualando a 5\cos8t obtemos após simplificação
-16A\sin8t+16B\cos8t=5\cos8t.
Comparando coeficientes:
-16A=0\\ \Rightarrow\\ A=0, \qquad 16B=5\\ \Rightarrow\\ B=\tfrac{5}{16}.
Assim
x_p(t)=\frac{5}{16}\,t\sin8t.

Passo 6

A solução geral do PVI é
x(t)=x_h(t)+x_p(t) =C_1\cos8t+C_2\sin8t+\frac{5}{16}\,t\sin8t.

Passo 7

Aplicando x(0)=0 C_1=0. Depois x'(t)= -8C_1\sin8t+8C_2\cos8t+\tfrac{5}{16}(\sin8t+8t\cos8t), e x'(0)=0 leva a 8C_2=0, logo C_2=0.

Resposta

x(t)=\frac{5}{16}\,t\sin8t.

Exercícios relacionados