Encontre uma solução implícita e outra explícita do problema de valor inicial dado abaixo:
(1+x^4) d y+x(1+4 y^2) d x=0 ; y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(1+x^4),dy + x,(1+4y^2),dx = 0
com a condição inicial y(1)=0.
O conteúdo principal é a resolução de uma EDO separável. Vamos separar variáveis, integrar e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada,
dydx = -x,(1+4y^2)1+x^4
Isolamos os y de um lado e os x do outro:
dy1+4y^2 = -x1+x^4,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, usamos que integral dy1+(2y)^2=tfrac12arctan(2y). No direito, o substituto u=x^2 du=2x,dx, logo
integral dy1+4y^2 = tfrac12arctan(2y), integral x1+x^4,dx = tfrac12arctan(x^2)
Assim,
tfrac12arctan(2y) = -tfrac12arctan(x^2) + C
Multiplicando por 2,
arctan(2y) + arctan(x^2) = C1

Passo 4

Usamos a condição y(1)=0. Nesse ponto arctan(2cdot0)=0 e arctan(1^2)=pi/4, logo
0 + pi4 = C1 ;;Longrightarrow;; C1 = pi4
A solução implícita fica
arctan(2y) + arctan(x^2) = pi4

Passo 5

Para obter a forma explícita, isolamos y:
arctan(2y) = pi4 - arctan(x^2) ;Longrightarrow; 2y = tan!l(tfracpi4 - arctan(x^2)r) = 1 - x^21 + x^2
Logo
y = 1 - x^22,(1 + x^2)

Resposta

Solução implícita:
arctan(2y) + arctan(x^2) = pi4
Solução explícita:
y = 1 - x^22,(1 + x^2)

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