Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime cotgh 2 x=2 y-2 ; y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'(x),coth(2x)=2,y(x)-2, y(0)=0,
que é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo linear. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão y'+p(x),y=q(x), achar o fator integrante e depois usar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando y':
y' = l(2,y-2r),tanh(2x)
Colocando tudo no formato y'+p(x),y=q(x) resulta em
y' - 2,tanh(2x),y = -2,tanh(2x)

Passo 3

O fator integrante u(x) satisfaz
u(x)=expl(integral p(x),dxr) com p(x)=-2,tanh(2x)
Calculamos
integral -2,tanh(2x),dx = -integral 2,tanh(2x),dx = -lnl(cosh(2x)r),
logo
u(x)=expl(-ln(cosh(2x))r) =1cosh(2x)

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por obtemos
O lado esquerdo é a derivada de e o direito é
, que é exatamente a derivada de . Assim,

Passo 5

Integrando ambos os lados:
e, multiplicando por ,

Passo 6

Impondo a condição inicial y(0)=0:
0 = 1 + C,cosh(0) = 1 + C,
logo C=-1. Assim a solução única é
y(x)=1 - cosh(2x)

Resposta

y(x)=1-cosh(2x)

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