Resolva as equações diferenciais dadas, usando o método de separação de variáveis.
(y-y x^2) d yd x=(y+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(y - y x^2),dydx = (y+1)^2
pelo método de separação de variáveis. Vamos reescrever em forma separável, integrar ambos os lados e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro escrevemos
y(1 - x^2),dydx = (y+1)^2
e isolamos os termos em y de um lado e em x do outro:
dydx = (y+1)^2y,(1 - x^2) Longrightarrow y(y+1)^2,dy = dx1 - x^2

Passo 3

Agora integramos os dois lados. No lado de y:
integral y(y+1)^2,dy = integral l(1y+1 - 1(y+1)^2r),dy = lnlvert y+1rvert + 1y+1
No lado de x:
integral dx1 - x^2 = tanh^-1(x) = 12,ln!llvert1+x1-xrrvert
Logo, após integrar, obtemos
lnlvert y+1rvert + 1y+1 = 12,ln!llvert1+x1-xrrvert + C

Passo 4

Para deixar a solução num formato mais explícito, exponenciamos e reunimos constantes. Definindo K=e^C, chega-se a
(y+1),exp!l(tfrac1y+1r) = K,raiz1+x1-x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
lnlvert y+1rvert + 1y+1 = 12,ln!llvert1+x1-xrrvert + C
ou, equivalentemente, de modo explícito em termos de K:
(y+1),exp!l(tfrac1y+1r) = K,raiz1+x1-x,
onde C (ou K) é a constante arbitrária.

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