Analise a afirmação que segue decidindo sobre a veracidade ou não e justifique sua resposta. Uma solução implícita de
2 x sen^2 y d x-(x^2+10) cos y d y=0
é dada por ln (x^2+10)+cossec y=c.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2xsin^2y,dx ;-;(x^2+10)cos y,dy ;=;0
e afirma que uma solução implícita é
lnl(x^2+10r)+cossecy = c
O que vamos usar aqui é o método de separação de variáveis: colocar todos os termos em x num lado e todos os termos em y no outro, e então integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação de modo a separar variáveis, temos
2xsin^2y,dx = (x^2+10)cos y,dy
e daí
2xx^2+10,dx ;=;cos ysin^2y,dy ;=;cot y,csc y,dy

Passo 3

Integramos cada lado separadamente:
integral 2xx^2+10,dx e integral cot y,csc y,dy
Para o lado em x, use u=x^2+10, então du=2x,dx, resultando em
integral 2xx^2+10,dx =integral 1u,du =lnl(x^2+10r)+C1
Para o lado em y, lembramos que dfracddy(csc y)=-cot y,csc y, então
integral cot y,csc y,dy =-csc y + C2

Passo 4

Igualando as duas integrais (absorvendo C1 e C2 numa única constante C), obtemos
lnl(x^2+10r) = -csc y + C Longrightarrow lnl(x^2+10r)+csc y = C
Como cossecy é apenas outra forma de escrever csc y, a solução implícita dada coincide exatamente com o que encontramos.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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