Exercício 11. Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=1-\operatorname{sen}^{2}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=1-\operatorname{sen}^{2}(x) e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio máximo da função.
  • Esboçar o gráfico da função (ou descrever como desenhá-lo).
Informações relevantes dadas: a expressão algébrica f(x)=1-\operatorname{sen}^{2}(x). Não há restrições explícitas (como raízes ou denominadores) além da presença da função seno.

Passo 2

Determinar o domínio máximo: verificar para quais x a expressão faz sentido.
  • A função \operatorname{sen}(x) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A operação 1-\operatorname{sen}^{2}(x) usa apenas \operatorname{sen}(x), potências e subtração, todas bem definidas quando \operatorname{sen}(x) está definida.
Portanto o domínio máximo é todo o conjunto dos números reais:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica fundamental (a identidade pitagórica).
A identidade pitagórica diz que, para todo x,
\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1.
Subtraindo \operatorname{sen}^{2}(x) dos dois lados obtemos
1-\operatorname{sen}^{2}(x)=\cos^{2}(x).
Logo podemos reescrever a função de maneira mais simples:
f(x)=\cos^{2}(x).
Explicação didática rápida dessa identidade: \operatorname{sen}(x) e \cos(x) são as coordenadas de um ponto sobre o círculo unitário; ao elevar ao quadrado e somar obtém-se 1. Assim é natural que 1-\operatorname{sen}^{2}(x)=\cos^{2}(x).

Passo 4

Determinar a imagem (intervalo de valores) de f.
  • Sabemos que para todo x vale -1\le \cos(x)\le 1.
  • Elevando ao quadrado, fica 0\le \cos^{2}(x)\le 1.
Portanto a imagem de f é o intervalo
f(\mathbb{R})=[0,1].

Passo 5

Encontrar períodos e periodicidade (importante para o esboço).
  • A função \cos(x) tem período 2\pi: \cos(x+2\pi)=\cos(x).
  • Para g(x)=\cos^{2}(x) temos
\cos^{2}(x+\pi)=\big(\cos(x+\pi)\big)^{2}=(-\cos x)^{2}=\cos^{2}(x).
Logo \cos^{2}(x) é periódica com período \pi.
Verificar que \pi é o menor período positivo: se tentarmos T=\pi/2 obtemos \cos^{2}(x+\pi/2)=\sin^{2}(x), que não coincide com \cos^{2}(x) para todo x. Portanto o período fundamental (menor período positivo) é
T=\pi.

Passo 6

Identificar máximos, mínimos e pontos notáveis para desenhar o gráfico.
Usando f(x)=\cos^{2}(x):
  • Máximos: \cos^{2}(x)=1 quando \cos(x)=\pm1. Isso ocorre em
    x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
    com valor máximo f(x)=1.
  • Mínimos (zeros): \cos^{2}(x)=0 quando \cos(x)=0. Isso ocorre em
    x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
    com valor mínimo f(x)=0.
  • Valores intermediários úteis: por exemplo
    f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos^{2}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Outra forma útil para esboçar é usar a fórmula da dupla frequência:
\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Interpretação prática dessa fórmula:
  • É um cosseno de frequência 2 (ou seja, período \pi) multiplicado por amplitude 1/2 e deslocado verticalmente por 1/2.
  • Portanto o gráfico é uma onda cosseno com cristas em 1 e vales em 0, oscilando suavemente entre esses valores.

Passo 8

Como desenhar o esboço (passo a passo prático que você pode reproduzir numa prova sem calculadora):
  1. Marque no eixo x os pontos x=0,\\ \frac{\pi}{2},\\ \pi,\\ \frac{3\pi}{2},\\\ 2\pi (ou outros intervalos de comprimento \pi).
  2. Em x=0 coloque f(0)=1. Em x=\frac{\pi}{2} coloque f=\;0. Em x=\pi coloque f=1. Assim traça-se um “lobo” positivo entre 0 e \pi.
  3. Repita o padrão a cada intervalo de comprimento \pi: entre \pi e 2\pi terá outro lobo idêntico, e assim por diante em ambos os sentidos.
  4. O gráfico é contínuo, suave e simétrico em cada intervalo [k\pi,(k+1)\pi] em torno do ponto médio x=\frac{\pi}{2}+k\pi.
Visual mental: uma sequência de montes suaves com picos em 1 (nos x=k\pi) e vales em 0 (nos x=\frac{\pi}{2}+k\pi), repetindo-se com período \pi.

Passo 9

Resumo da informação necessária para o enunciado (útil para conferir ou anotar na folha da prova antes de desenhar):
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Forma simplificada: f(x)=\cos^{2}(x).
  • Imagem: [0,1].
  • Período: \pi.
  • Máximos: f(k\pi)=1.
  • Zeros: f\!\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=0.

Resposta

Domínio máximo: \mathbb{R}
Gráfico: f(x)=\cos^{2}(x), imagem [0,1], período \pi; máximos em x=k\pi com valor 1 e zeros em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi com valor 0, k\in\mathbb{Z}.

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