Exercício 11. Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio máximo da função.
- Esboçar o gráfico da função (ou descrever como desenhá-lo).
Informações relevantes dadas: a expressão algébrica
. Não há restrições explícitas (como raízes ou denominadores) além da presença da função seno.
Passo 2
Determinar o domínio máximo: verificar para quais
a expressão faz sentido.
- A função
está definida para todo . - A operação
usa apenas , potências e subtração, todas bem definidas quando está definida.
Portanto o domínio máximo é todo o conjunto dos números reais:
Passo 3
Simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica fundamental (a identidade pitagórica).
A identidade pitagórica diz que, para todo
,
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Logo podemos reescrever a função de maneira mais simples:
Explicação didática rápida dessa identidade:
e
são as coordenadas de um ponto sobre o círculo unitário; ao elevar ao quadrado e somar obtém-se
. Assim é natural que
.
Passo 4
Determinar a imagem (intervalo de valores) de
.
- Sabemos que para todo
vale . - Elevando ao quadrado, fica
.
Portanto a imagem de
é o intervalo
Passo 5
Encontrar períodos e periodicidade (importante para o esboço).
- A função
tem período : . - Para
temos
Logo
é periódica com período
.
Verificar que
é o menor período positivo: se tentarmos
obtemos
, que não coincide com
para todo
. Portanto o período fundamental (menor período positivo) é
Passo 6
Identificar máximos, mínimos e pontos notáveis para desenhar o gráfico.
Usando
:
-
Máximos:
quando . Isso ocorre em com valor máximo. -
Mínimos (zeros):
quando . Isso ocorre em com valor mínimo. -
Valores intermediários úteis: por exemplo
Passo 7
Outra forma útil para esboçar é usar a fórmula da dupla frequência:
Interpretação prática dessa fórmula:
- É um cosseno de frequência
(ou seja, período ) multiplicado por amplitude e deslocado verticalmente por . - Portanto o gráfico é uma onda cosseno com cristas em
e vales em , oscilando suavemente entre esses valores.
Passo 8
Como desenhar o esboço (passo a passo prático que você pode reproduzir numa prova sem calculadora):
- Marque no eixo
os pontos (ou outros intervalos de comprimento ). - Em
coloque . Em coloque . Em coloque . Assim traça-se um “lobo” positivo entre e . - Repita o padrão a cada intervalo de comprimento
: entre e terá outro lobo idêntico, e assim por diante em ambos os sentidos. - O gráfico é contínuo, suave e simétrico em cada intervalo
em torno do ponto médio .
Visual mental: uma sequência de montes suaves com picos em
(nos
) e vales em
(nos
), repetindo-se com período
.
Passo 9
Resumo da informação necessária para o enunciado (útil para conferir ou anotar na folha da prova antes de desenhar):
- Domínio:
. - Forma simplificada:
. - Imagem:
. - Período:
. - Máximos:
. - Zeros:
.
Resposta
Domínio máximo:
Gráfico: , imagem
, período
; máximos em
com valor
e zeros em
com valor
,
.
Gráfico: