Vale: 1,5) Determine a solução do problema de Valor Inicial
d yd x+1x y=1x^2, x>0 e y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária (EDO) linear de 1ª ordem: dydx+1xy=1x^2, definida para x>0 com condição inicial y(1)=2. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Uma EDO linear de 1ª ordem tem a forma dydx+P(x)y=Q(x). Aqui identificamos P(x)=1x e Q(x)=1x^2. O fator integrante é dado por mu(x)=e^integral P(x),dx.

Passo 3

Calculando o fator integrante temos
mu(x)=e^integral 1xdx=e^ln x=x

Passo 4

Multiplicando a EDO original por mu(x)=x obtemos
xdydx+y=xx^2=1x
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de x y, ou seja, xdydx+y=ddx(x y).

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx(x y),dx=integral 1x,dx,
resulta em
x y=ln x+C,
onde C é a constante de integração. Isolando y vem a solução geral
y=ln x+Cx

Passo 6

Para determinar C, usamos a condição inicial y(1)=2. Substituindo x=1 na solução geral:
2=ln 1+C1=C,
pois ln1=0. Logo C=2 e obtemos a solução particular.

Resposta

y(x)=dfracln x+2x

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