Use que L(t^n f(t))=(-1)^n F^(n)(s) e que L(f(t)t)=integrals^infty F(sigma) d sigma para encontrar a transformada de Laplace das funções abaixo.
f(t)=t e^-t sen^2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t e^-tsin^2 t. Vamos usar dois resultados: (i) se F(s)=Lg(t) então Le^-a tg(t)=F(s+a); (ii) Lt,g(t)=-ddsG(s), onde G(s)=Lg(t).

Passo 2

Primeiro, calculamos G(s)=Lsin^2 t. Como sin^2 t=1-cos2t2, temos:
G(s)=12!(1s - ss^2+4) = 12s - s2(s^2+4)

Passo 3

Agora aplicamos o deslocamento de frequência para obter H(s)=Le^-tsin^2 t=G(s+1). Basta substituir sto s+1:
H(s)=12(s+1) - s+12l((s+1)^2+4r)

Passo 4

Em seguida, queremos Lt e^-tsin^2 t=Lt,g(t) com g(t)=e^-tsin^2 t. Pelo teorema da diferenciação,
Lt,g(t) = -ddsH(s)

Passo 5

Vamos derivar
H(s)=A(s)-B(s),
onde A(s)=12(s+1) e B(s)=s+12l((s+1)^2+4r). Calculamos cada derivada:
A'(s)=-12(s+1)^2,
B'(s)=4-(s+1)^22l((s+1)^2+4r)^2

Passo 6

Portanto
-ddsH(s) = -A'(s)+B'(s) = 12(s+1)^2 + 4-(s+1)^22l((s+1)^2+4r)^2
Esse é o resultado final.

Passo 7

Podemos deixar a resposta organizada como
Lt e^-tsin^2 t = 12(s+1)^2 ;+ ; 4 - (s+1)^22l((s+1)^2+4r)^2

Resposta

12(s+1)^2 + 4 - (s+1)^22l((s+1)^2+4r)^2

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