Encontre a solução do P.V.I. y^prime=2 x2 y+1 , y(2)=0, na forma explícita.

Passo 1

O problema nos dá o P.V.I.
y' = 2x2y+1, y(2)=0
É uma equação de primeira ordem e de variáveis separáveis. Vamos usar separação de variáveis e integração para achar a solução implícita e depois aplicar a condição inicial para obter a forma explícita.

Passo 2

Separe as variáveis isolando em cada lado os termos que dependem de y e os que dependem de x:
(2y+1),dy = 2x,dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral (2y+1),dy = integral 2x,dx
No lado esquerdo
integral (2y+1),dy = integral 2y,dy + integral 1,dy = y^2 + y,
e no direito
integral 2x,dx = x^2 + C
Logo a solução implícita é
y^2 + y = x^2 + C

Passo 4

Use a condição inicial y(2)=0 para determinar C:
0^2 + 0 = 2^2 + C Longrightarrow C = -4
Assim a relação implícita fica
y^2 + y = x^2 - 4

Passo 5

Resolva a equação quadrática em y:
y^2 + y - (x^2 - 4) = 0 Longrightarrow y = -1 pm raiz1 + 4(x^2 - 4)2 = -1 pm raiz4x^2 - 152

Passo 6

Escolha o sinal que satisfaz y(2)=0. Em x=2 temos
raiz4cdot2^2 - 15 = raiz16 - 15 = 1,
logo
y(2) = -1 pm 12
Para obter y(2)=0 é preciso usar o sinal +. Portanto
y(x) = -1 + raiz4x^2 - 152

Resposta

boxedy(x) = -1 + raiz4x^2 - 152

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