Esboce o gráfico da função e determine o limite:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
e, em seguida, determinar o limite
O conteúdo aqui é o estudo de funções logarítmicas, suas propriedades (domínio, imagem, assíntota, pontos notáveis) e o comportamento para
.
Passo 2
Para esboçar o gráfico de
note que:
- O domínio é
, pois logaritmo só existe para argumentos positivos. - A imagem é todo
, já que o logaritmo cresce sem limites para valores grandes de e decresce sem limites ao se aproximar de zero. - Há uma assíntota vertical em
, pois
- Pontos notáveis:
(ponto ),
(ponto ),
(ponto ).
O gráfico é uma curva sempre crescente, que passa por esses pontos e se aproxima dequando , subindo indefinidamente para .
Passo 3
Para determinar
lembre que, como
quando
e
segue-se que o quociente também tende a
. Ou seja, a função cresce sem limite superior à medida que
aumenta.