Esboce o gráfico da função e determine o limite:
lim x +infty log 3 x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=log3x
e, em seguida, determinar o limite
limxto+inftylog3x
O conteúdo aqui é o estudo de funções logarítmicas, suas propriedades (domínio, imagem, assíntota, pontos notáveis) e o comportamento para xto+infty.

Passo 2

Para esboçar o gráfico de f(x)=log3x note que:
  • O domínio é x>0, pois logaritmo só existe para argumentos positivos.
  • A imagem é todo R, já que o logaritmo cresce sem limites para valores grandes de x e decresce sem limites ao se aproximar de zero.
  • Há uma assíntota vertical em x=0, pois
limxto0^+log3x=-infty
  • Pontos notáveis:
    log31=0 (ponto (1,0)),
    log33=1 (ponto (3,1)),
    log3tfrac13=-1 (ponto (tfrac13,-1)).
    O gráfico é uma curva sempre crescente, que passa por esses pontos e se aproxima de -infty quando xto0^+, subindo indefinidamente para xto+infty.

Passo 3

Para determinar
limxto+inftylog3x
lembre que, como ln xto+infty quando xto+infty e
log3x=ln xln3,
segue-se que o quociente também tende a +infty. Ou seja, a função cresce sem limite superior à medida que x aumenta.

Resposta

limxto+inftylog3x = +infty

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