Q 1. Falso ou Verdadeiro? Justifique:
se sumn=1^infty an diverge, então sumn=1^infty an^3 diverge.

Passo 1

O enunciado pergunta se a seguinte implicação é sempre verdadeira:
“Se sumn=1^inftyan diverge, então sumn=1^inftyan^3 também diverge.”
O conteúdo envolve séries numéricas e, em particular, o teste da p-série, que diz que
sumn=1^infty1n^p
converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa, basta encontrar um contraexemplo: uma sequência (an) tal que sum an diverge mas sum an^3 converge.

Passo 3

Escolha
an = 1raizn = n^-1/2
Então sumn=1^inftyan é a p-série com p=tfrac12<=1, logo
sumn=1^inftyan = sumn=1^inftyn^-1/2
diverge.

Passo 4

Por outro lado,
an^3 = l(n^-1/2r)^3 = n^-3/2,
e sumn=1^inftyn^-3/2 é uma p-série com p=tfrac32>1, logo converge.
Esse exemplo mostra que a série original pode divergir enquanto a dos cubos converge, quebrando a implicação proposta.

Resposta

Falso. Um contraexemplo é an = 1/raizn, pois sum n^-1/2 diverge e sum n^-3/2 converge.

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